Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số Hình phẳng số lượng giới hạn bởi đường cong có phương trình

12 trang

Bạn đang đọc: Bài giảng Toán cao cấp – Chương 5: Tích phân – Tài liệu, ebook

| Chia sẻ : truongthinh92

| Lượt xem: 17645

Xem thêm: Top 6 Phần Mềm Chơi Game Điện Thoại Trên Pc Bằng Giả Lập, 10 Phần Mềm Giả Lập Android Tốt Nhất Cho Windows

| Lượt tải: 2

Xem thêm: Viber

Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Toán cao cấp – Chương 5: Tích phân, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

10/13/2012 1 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số § 1. Tích phân bất định § 2. Tích phân xác lập § 3. Ứng dụng của tích phân xác lập § 4. Tích phân suy rộng § 1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1. Định nghĩa • Hàm số ( ) F x được gọi là một nguyên hàm của ( ) f x trên khoảng chừng ( ; ) a b nếu ( ) ( ), ( ; ) F x f x x a b    . Ký hiệu ( ) f x dx  ( đọc là tích phân ). Nhận xét • Nếu ( ) F x là nguyên hàm của ( ) f x thì ( ) F x C  cũng là nguyên hàm của ( ) f x. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất 1 ). ( ) ( ), k f x dx k f x dx k     ¡ 2 ) ( ) ( ) f x dx f x C     3 ) ( ) ( ) d f x dx f x dx   4 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 1 )., aa dx ax C     ¡ 2 ) 1, 1 1 x x dx C            3 ) lndx x C x    ; 4 ) 2 dx x C x    5 ) x xe dx e C    ; 6 ) ln x x aa dx C a    7 ) cos sinxdx x C    ; 8 ) sin cosxdx x C     9 ) 2 tan cos dx x C x    ; 10 ) 2 cotsin dx x C x     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 11 ) 2 2 1 arctan dx x C a ax a     12 ) 2 2 arcsin, 0 dx x C a aa x      13 ) 2 2 1 ln 2 dx x a C a x ax a       14 ) ln tan sin 2 dx x C x    15 ) ln tan cos 2 4 dx x C x                 16 ) 2 2 ln dx x x a C x a       Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính 24 dx I x   . A. 1 2 ln 4 2 x I C x     ; B. 1 2 ln 4 2 x I C x     ; C. 1 2 ln 2 2 x I C x     ; D. 1 2 ln 2 2 x I C x    . Giải. 2 2 1 2 ln. 4 22 dx x I C A xx           Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Biến đổi : 2 1 1 1 1 1 ( 2 ) ( 3 ) 5 3 26 x x x xx x                    . Vậy 1 1 1 5 3 2 I dx x x                   1 1 3 ln 3 ln 2 ln 5 5 2 x x x C C x         . VD 2. Tính 2 6 dx I x x    . 10/13/2012 2 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 1.2. Phương pháp đổi biến a ) Định lý Nếu ( ) ( ) f x dx F x C    với ( ) t  khả vi thì : ( ( ) ) ( ) ( ( ) ). f t t dt F t C        VD 3. Tính ln 1 dx I x x   . Giải. Đặt ln 1 2 ln 1 dx t x dt x x     . Vậy 2 2 2 ln 1I dt t C x C       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Tính 23 ln dx I x x   . Giải. Đặt ln dxt x dt x    2 ln arcsin arcsin 3 33 dt t x I C C t        . VD 5. Tính 3 ( 3 ) dx I x x   . Giải. Biến đổi 2 3 3 ( 3 ) x dx I x x   . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Đặt 3 23 t x dt x dx    1 1 1 1 3 ( 3 ) 9 3 dt I dt t t t t                    3 3 1 1 ln ln 9 3 9 3 t x C C t x      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 1.3. Phương pháp từng phần a ) Công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x dx u x v x u x v x dx       hay. udv uv vdu     VD 6. Tính lnI x xdx  . Giải. Đặt 2 ln, 2 u x dx x du v dv xdx x             21 1 ln 2 2 I x x xdx     2 2 1 1 ln. 2 4 x x x C    Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Tính 2 x x I dx  . Giải. Biến đổi. 2 xI x dx   . Đặt 2, 2 ln 2 x x u x du dx v dv dx               . 2 1 2 ln 2 ln 2 x xxI dx        2. 2 2 ln 2 ln 2 x xx C      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Tính 3 sincos xI xe dx  . Giải. Biến đổi 2 sin ( 1 sin ) cosxI x e x dx   . Đặt 2 sin ( 1 ) tt x I t e dt     . Đặt 2 21 tt du tdtu t v edv e dt                        Chú ý Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy từng phần. 10/13/2012 3 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 ( 1 ) 2 t tI e t te dt      2 ( 1 ) 2 ( ) t te t t de     2 ( 1 ) 2 2 t t te t te e dt      2 sin 2 ( 1 ) ( sin 1 ) t xe t C e x C        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số b ) Các dạng tích phân từng phần thường gặp • Đối với dạng tích phân ( ) xP x e dx  , ta đặt : ( ) ,. xu P x dv e dx    • Đối với dạng tích phân ( ) lnP x x dx  , ta đặt : ln, ( ). u x dv P x dx    Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 0 1 1 … n nx a x x x b       . Lấy điểm 1 [ ; ] k k kx x    tùy ý ( 1, k n  ). Lập tổng tích phân : 1 1 ( ) ( ) n k k k k f x x       . § 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( ) f x xác lập trên [ ; ] a b. Ta chia đoạn [ ; ] a b thành n đoạn nhỏ bởi những điểm chia Ký hiệu là ( ). b a I f x dx   Giới hạn hữu hạn ( nếu có ) 1 max ( ) 0 lim k kk x x I      được gọi là tích phân xác lập của ( ) f x trên đoạn [ ; ] a b. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất 1 ). ( ) ( ), b b a a k f x dx k f x dx k     ¡ 2 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx       3 ) ( ) 0 ; ( ) ( ) a b a a a b f x dx f x dx f x dx       4 ) ( ) ( ) ( ), [ ; ] b c b a a c f x dx f x dx f x dx c a b       5 ) ( ) 0, [ ; ] ( ) 0 b a f x x a b f x dx       Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 6 ) ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( ) b b a a f x g x x a b f x dx g x dx        7 ) ( ) ( ) b b a a a b f x dx f x dx      8 ) ( ), [ ; ] m f x M x a b     ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a       9 ) Nếu ( ) f x liên tục trên đoạn [ ; ] a b thì [ ; ] : ( ) ( ) ( ) b a c a b f x dx f c b a     . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2.2. Công thức Newton – Leibnitz Nếu ( ) f x liên tục trên [ ; ] a b và ( ) F x là một nguyên hàm tùy ý của ( ) f x thì : ( ) ( ) ( ) ( ). b b a a f x dx F x F b F a     10/13/2012 4 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Nhận xét 1 ) Có hai chiêu thức tính tích phân như § 1. 2 ) Hàm số ( ) f x liên tục và lẻ trên [ ; ]    thì : ( ) 0 f x dx     . 3 ) Hàm số ( ) f x liên tục và chẵn trên [ ; ]    thì : 0 ( ) 2 ( ) f x dx f x dx       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Đặc biệt ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx    nếu ( ) 0, ( ; ) f x x a b   . 4 ) Để tính ( ) b a f x dx  ta dùng bảng xét dấu của ( ) f x để tách ( ) f x ra thành những hàm trên từng đoạn nhỏ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính 3 2 1 2 5 dx I x x    . Giải. Biến đổi 3 2 1 4 ( 1 ) dx I x    . Đặt 1 t x dt dx     22 2 00 1 arctan 2 2 84 dt t I t       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính 0 cosI x x dx   . Giải. Đặt, sin cos u x du dx v x dv x dx             0 0 0 sin sin cos 2I x x x dx x          . VD 3. Tính 1 2 3 1 1. sinI x x dx    . Giải. Do hàm số 2 3 ( ) 1.sinf x x x   liên tục và lẻ trên đoạn [ 1 ; 1 ]  nên 0I . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số § 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2 1 ( ) ( ) b a S f x f x dx          2 1 ( ) ( ) d c S g y g y dy          a ) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát 3.1. Tính diện tích quy hoạnh S của hình phẳng S S Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính diện tích quy hoạnh hình phẳng S số lượng giới hạn bởi những đường 2 y x  và 4 y x . A. 1 15 S  ; B. 2 15 S  C. 4 15 S  ; D. 8 15 S . Giải. Hoành độ giao điểm : 2 4 1, 0 x x x x      0 1 2 4 2 4 1 0 4 ( ) ( ). 15 S x x dx x x dx C           10/13/2012 5 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Cách khác Hoành độ giao điểm 2 4 1, 0 x x x x      1 1 2 4 2 4 1 0 2S x x dx x x dx         1 2 4 0 4 2 ( ). 15 x x dx C      Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính diện tích quy hoạnh hình phẳng S số lượng giới hạn bởi những đường 2 x y  và 2 y x  . Giải. Biến đổi : 2 2 2 2 x y x y y x x y                     . Tung độ giao điểm : 2 2 1, 2 y y y y       22 2 2 3 11 1 1 27 ( 2 ) 2. 2 3 6 S y y dy y y y                             Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 3. Tính diện tích quy hoạnh hình phẳng S số lượng giới hạn bởi những đường 1 xy e  , 2 3 xy e   và 0 x . A. 1 ln 4 2  ; B. ln 4 1 2  ; C. 1 ln 2 2  ; D. 1 ln 2 2  Giải. Hoành độ giao điểm : 21 3 x xe e    2 2 0 2 ln 2 x x xe e e x        . ln 2 ln 2 2 2 00 1 ( 2 ) 2 2 x x x xS e e dx e e x                   1 1 ln 4 ln 4 2 2 A     . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Tính diện tích quy hoạnh hình elip 2 2 2 2 : 1 x y S a b  . Giải. Phương trình tham số của elip là : cos, [ 0 ; 2 ] sin x a t t y b t           . b ) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số Hình phẳng số lượng giới hạn bởi đường cong có phương trình ( ), ( ) x x t y y t   với [ ; ] t    thì : ( ). ( ). S y t x t dt      Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 2 2 0 0 sin. ( sin ) sinS b t a t dt ab t dt        2 0 1 cos2 2 t ab dt ab      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 3.2. Tính độ dài l của đường cong a ) Đường cong có phương trình tổng quát Cho cung » AB có phương trình ( ), [ ; ] y f x x a b   thì : » 21 [ ( ) ]. b AB a l f x dx     VD 5. Tính độ dài cung parabol 2 2 x y  từ gốc tọa độ O ( 0 ; 0 ) đến điểm 11 ; 2 M           . 10/13/2012 6 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Ta có : 1 1 2 2 0 0 1 ( ) 1 l y dx x dx        1 2 2 0 1 1 ln 1 2 x x x x                         2 1 ln 1 22 2   . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Cho cung » AB có phương trình tham số ( ), [ ; ] ( ) x x t t y y t             thì : » 2 2 [ ( ) ] [ ( ) ]. AB l x t y t dt        b ) Đường cong có phương trình tham số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình : 2 2 1, 0 ; 1 ln 1 x t t y t t                                . Giải. Ta có : 1 2 2 0 [ ( ) ] [ ( ) ] l x t y t dt      2 21 2 2 0 1 1 1 1 t dt t t                                  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S số lượng giới hạn bởi ln, 0 y x y  , 1, x x e   quay xung quanh Ox. 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay a ) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V của vật thể do miền phẳng S số lượng giới hạn bởi ( ), 0 y f x y  , x a , x b  quay quanh Ox là : 2 [ ( ) ]. b a V f x dx    Giải. 1 1 ln ( ln ) e e V x dx x x x        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Tính V do 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b   quay quanh Ox. Giải. Ta có :   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y b y a x a b a     . Vậy   2 2 2 2 2 4 3 a a b V a x dx ab a       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số b ) Vật thể quay quanh Oy Thể tích V của vật thể do miền phẳng S số lượng giới hạn bởi ( ) x g y , 0 x , y c  và y d  quay quanh Oy là : 2 [ ( ) ]. d c V g y dy    VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng S số lượng giới hạn bởi 22, 0 y x x y    quay xung quanh Oy. 10/13/2012 7 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Parabol 22 y x x   được viết lại : 2 22 ( 1 ) 1 y x x x y       1 1, 1 1 1, 1 x y x x y x              . Vậy     1 2 2 0 1 1 1 1V y y dy                 1 1 3 00 8 8 4 1 ( 1 ) 3 3 y dy y          . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 10. Dùng công thức ( * ) để giải lại VD 9. Chú ý Thể tích V của vật thể do miền phẳng S số lượng giới hạn bởi ( ) y f x , 0 y , x a  và x b  quay xung quanh Oy còn được tính theo công thức : 2 ( ) ( * ). b a V xf x dx    Giải. 22 3 4 2 0 0 2 8 2 ( 2 ) 2. 3 4 3 x x V x x x dx                       Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số § 4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Khái niệm khởi đầu Cho hàm số ( ) 0, [ ; ] f x x a b   . Khi đó, diện tích quy hoạnh hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị ( ) y f x  và trục hoành là : ( ) b a S f x dx  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số § 4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Cho hàm số ( ) 0, [ ; ) f x x a      ( b    ). Khi đó, diện tích quy hoạnh S hoàn toàn có thể tính được cũng hoàn toàn có thể không tính được. Trong trường hợp tính được hữu hạn thì : ( ) lim ( ) b b a a S f x dx f x dx         . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số § 4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.1. Tích phân suy rộng loại 1 4.1.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( ) f x xác lập trên [ ; ) a  , khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( ) a b a b . Giới hạn ( nếu có ) của ( ) b a f x dx  khi b    được gọi là tích phân suy rộng loại 1 của ( ) f x trên [ ; ) a  . Ký hiệu là : ( ) lim ( ). b b a a f x dx f x dx         Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số • Định nghĩa tương tự như : ( ) lim ( ) ; b b a a f x dx f x dx         ( ) lim ( ). b b aa f x dx f x dx              • Nếu những số lượng giới hạn trên sống sót hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. • Nghiên cứu về tích phân suy rộng ( nói chung ) là khảo sát sự quy tụ và tính giá trị quy tụ ( thường là khó ). 10/13/2012 8 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Khảo sát sự quy tụ của tích phân 1 dx I x     . Giải • Trường hợp α = 1 : 1 1 lim lim ln b b b b dx I x x                       ( phân kỳ ). • Trường hợp α khác 1 : 1 1 1 1 lim lim 1 b b b b dx I x x                            1 1, 11 lim 1 1 1, 1. b b                            Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Vậy § Với 1   : 1 1 I    ( quy tụ ). § Với 1   : I    ( phân kỳ ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính tích phân 0 2 ( 1 ) dx I x     . VD 3. Tính tích phân 21 dx I x       . Giải. 00 2 1 lim lim 1 1 ( 1 ) a a aa dx I xx                      . Giải. 2 lim lim arctan 1 b b ab b aa a dx I x x                         lim arctan lim arctan 2 2 b a b a                          . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Chú ý • Nếu sống sót lim ( ) ( ) x F x F      , ta dùng công thức : ( ) ( ). a a f x dx F x       • Nếu sống sót lim ( ) ( ) x F x F      , ta dùng công thức : ( ) ( ). b b f x dx F x       • Tương tự : ( ) ( ). f x dx F x           Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 4.1.2. Các tiêu chuẩn quy tụ a ) Tiêu chuẩn 1 • Nếu 0 ( ) ( ), [ ; ) f x g x x a       và ( ) a g x dx    quy tụ thì ( ) a f x dx    quy tụ. • Các trường hợp khác tương tự như. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Xét sự quy tụ của tích phân 10 1 xI e dx     . Giải. Với [ 1 ; ) x    thì 10101 0 x xx x x e e           10 1 1 x xe dx e dx          . Mặt khác, 1 1 1 x xe dx e e           ( quy tụ ). Vậy tích phân đã cho quy tụ. 10/13/2012 9 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 5. Xét sự quy tụ của tích phân 1 cos 3 xI e x dx     . Giải. 1 1 cos 3 x xe x dx e dx          ( quy tụ ) I  quy tụ. b ) Tiêu chuẩn 2 • Nếu ( ) a f x dx    quy tụ thì ( ) a f x dx    quy tụ ( ngược lại không đúng ). • Các trường hợp khác tương tự như. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số c ) Tiêu chuẩn 3 • Cho ( ), ( ) f x g x liên tục, luôn dương trên [ ; ) a   và ( ) lim ( ) x f x k g x    . Khi đó : Ø Nếu 0 k     thì : ( ) a f x dx    và ( ) a g x dx    cùng quy tụ hoặc phân kỳ. Ø Nếu 0 k  và ( ) a g x dx    quy tụ thì ( ) a f x dx    quy tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Nếu ( ) a k g x dx                  phaân kyø thì ( ) a f x dx    phân kỳ. • Các trường hợp khác tương tự như. VD 6. Xét sự quy tụ của tích phân 2 3 1 1 2 dx I x x      . Giải. Đặt 2 3 1 ( ) 1 2 f x x x   , 3 1 ( ) g x x  ta có : 3 2 3 ( ) 1 ( ) 21 2 f x x g x x x     và 3 1 dx x    quy tụ I  quy tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Xét sự quy tụ của tích phân 1 1 sin dx I x x      . Giải. Ta có : 1 1 ( ) 1 sin x x x x      : và 1 dx x    phân kỳ. Vậy I phân kỳ. Chú ý Nếu ( ) ( ) ( ) f x g x x    : thì ( ) a f x dx    và ( ) a g x dx    có cùng đặc thù. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Điều kiện của  để 3 1. ln 1 dx I x x       quy tụ là : A. 3   ; B. 3 2   ; C. 2   ; D. 1 2  . Giải. Đặt lnt x  1 3 3 3 0 0 11 1 1 dt dt dt I t t t                 . • 1 3 0 1 dt t    là tích phân thường thì nên quy tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số • Do 3 3 1 1 1 t t    : nên : I quy tụ 3 1 1 dt t       quy tụ 1 3 3 A       . 10/13/2012 10 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 9. Điều kiện của  để 2 4 1 ( 1 ) 2 3 x dx I x x         quy tụ ? Giải • Với 4   : 2 4 2 1 1 ( 1 ) 2 3 x dx dx I x x x            : quy tụ. • Với 4   : 2 1 2 dx I x      : quy tụ I  quy tụ    ¡. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 4.2. Tích phân suy rộng loại 2 4.2.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( ) f x xác lập trên [ ; ) a b và không xác lập tại b, khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( 0 ) a b    . Giới hạn ( nếu có ) của ( ) b a f x dx    khi 0   được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của ( ) f x trên [ ; ) a b. Ký hiệu : 0 ( ) lim ( ). b b a a f x dx f x dx        Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số • Định nghĩa tương tự như : 0 ( ) lim ( ) a b b a f x dx f x dx        ( suy rộng tại a ) ; 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx          ( suy rộng tại a, b ). • Nếu những số lượng giới hạn trên sống sót hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 10. Khảo sát sự quy tụ của 0, 0 b dx I b x    . Giải • Trường hợp α = 1 : 0 0 0 lim lim ln ln lim ln b bdx I x b x                              . • Trường hợp α khác 1 : 1 0 0 0 1 lim lim lim 1 b b bdx I x dx x x                                 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số   1 1 1 0 1, 1 lim 11, 1. b b                                Vậy § Với 1   : 1 1 b I      ( quy tụ ). § Với 1   : I    ( phân kỳ ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 11. Tính tích phân 1 3 2 1 6 3 1 9 dx I x   . A. 3 I    ; B. 3 I   ; C. 6 I   ; D. I   . Giải. 1 1 3 3 12 1 6 6 ( 3 ) arcsin 3 31 ( 3 ) d x I x B x       . 10/13/2012 11 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 12. Tính tích phân 3 2 1. ln e dx I x x  . Giải. Đặt lnt x  21 1 1 33 3 2 0 0 0 3 3 dt I t dt t t        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 13. Tính tích phân 2 2 1 dx I x x   . Giải. Ta có : 2 2 1 1 1 1 ( 1 ) 1 dx I dx x x x x                   2 0 1 1 1 lim 1 dx x x                    2 0 1 1 lim ln x x                    . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 14. Tích phân suy rộng 1 0 ( 1 ) ( 2 ) x dx I x x x      quy tụ khi và chỉ khi : A. 1    ; B. 1 2    ; C. 1 2    ; D.   ¡. 4.1.2. Các tiêu chuẩn quy tụ Các tiêu chuẩn quy tụ như tích phân suy rộng loại 1. Chú ý Nếu ( ) ( ) ( ) f x g x x b  : thì ( ) b a f x dx  và ( ) b a g x dx  có cùng đặc thù ( với b là cận suy rộng ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Khi 0 x  thì 1 2 1 1. ( 1 ) ( 2 ) 2 2 x x x x x x x        : I  quy tụ 1 1 0 2 1 2 dx x     quy tụ 1 11 2 2 C         . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. 1 1 2 2 0 0 ( 1 ) sin ( 1 ) sin x dx dx I x x x x       . VD 15. Tích phân suy rộng 1 2 0 1 ( 1 ) sin x I dx x x      phân kỳ khi và chỉ khi : A. 1    ; B. 1 2    ; C. 1 2    ; D.   ¡. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số I phân kỳ 1 2 0 ( 1 ) sin x dx x x     phân kỳ. Do 1 1 1 12 0 0 0 2 ( 1 ) sin dx dx dx xx x x      : quy tụ nên Vậy I phân kỳ 1 11 2 2 B         . Mặt khác, 1 1 1 12 0 0 0 2 ( 1 ) sin x dx x dx dx xx x x          :. 10/13/2012 12 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Chú ý • Cho 1 2I I I   với 1 2, , I I I là những tích phân suy rộng ta có : 1 ) 1I và 2I quy tụ I  quy tụ. 2 ) 1 2 ( ) 0 I I            phaân kyø hoặc 1 2 ( ) 0 I I            phaân kyø thì I phân kỳ. 3 ) 1 2 ( ) 0 I I            phaân kyø hoặc 1 2 ( ) 0 I I            phaân kyø thì chưa thể Tóm lại I phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 16. 1 2 0 1 sin x I dx x x     phân kỳ khi và chỉ khi : A. 1 4   ; B. 1 4    ; C. 1 2    ; D.   ¡. Giải. Ta có : 1 1 1 22 2 0 0 sin sin x dx dx I I I x x x x       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Mặt khác : 1 ) 1 1 1 2 32 3 0 0 0 2 sin dx dx dx I x x x x         :. 2 ) 1 1 2 0 0 sin x dx I x x    . Vậy 1 2I I I   phân kỳ với mọi D    ¡ .
Các file đính kèm theo tài liệu này :