Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình cực hay

Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình cực hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Bước 1 : Tính đạo hàm của hàm số .
+ Bước 2 : Lập phương trình ; bất phương trình .
+ Bước 3 : Giải phương trình ; bất phương trình .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y= 2×3 – 6×2+ 2000. Phương trình y’= 0 có mấy nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm : y ‘ = 6×2 – 12 x
+ Để y ‘ = 0 thì 6×2 – 12 x = 0

Vậy phương trình y ’ = 0 có hai nghiệm .
Chọn C.

Ví dụ 2.Cho hàm số y= x3-4×2+5x-9. Với giá trị nào của x thì y’>0?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3.Cho hàm số y= x4+ 2×3 – k.x2+ x- 10. Tìm k để phương trình y’=1 có một nghiệm là x= 1?

A. k = 5 B. k = – 5 C. k = 2 D. k = – 3

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm : y ‘ = 4×3 + 6×2 – 2 kx + 1 .+ Để y ’ = 1 thì 4×3 + 6×2 – 2 kx + 1 = 1⇔ 4×3 + 6×2 – 2 kx = 0. ( * )Do phương trình y ’ = 1 có một nghiệm là x = 1 nên phương trình ( * ) có một nghiệm x = 1. Suy ra : 4.13 + 6.12 – 2. k. 1 = 0 ⇔ 10 – 2 k = 0⇔ k = 5 .Chọn A .

Quảng cáo

Ví dụ 4. Cho hàm số y= 4x+√x-10. Nghiệm của phương trình y’=0 là

A.x = 1 B. x = 4 C. x = 9 D. Vô nghiệm

Hướng dẫn giải

⇒ Phương trình y ’ = 0 vô nghiệm .
Chọn D .

Ví dụ 5. Cho hàm số y= (2x-1)/(x+1). Với những giá trị nào của x thì y’ >0

A. R. B. x > 0 C.R \ { – 1 } D. – 1

Hướng dẫn giải

Ví dụ 6. Cho hàm số y= (2x-2)/(x-3). Giải phương trình y’= -4.

A. x = – 2 B. x = 4 hoặc x = 2 C. x = 2 D x = – 3

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác lập với mọi x ≠ 3 .
Đạo hàm của hàm số đã cho với x ≠ 3 là :

Ví dụ 7.ho hàm số y= (x3+ x2)/(x-1). Phương trình y’=0 có mấy nghiệm nguyên?

A. 1 B. 0 C. 2 D. 3

Hướng dẫn giải

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 1. Khi đó ; đạo hàm của hàm số là :

Ví dụ 8.Cho hàm số y= 2mx – mx3. Với những giá trị nào của m để x= -1 là nghiệm của bất phương trình y’<1?

A. m > – 1 B. m < 1 C.m = 1 D. m < - 1

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm : y ’ = 2 m – 3 mx2
Bất phương trình y ‘ < 1 khi 2 m - 3 mx2 < 1 Do x = - 1 là nghiệm của bât phương trình nên ta có : 2 m - 3 m. ( - 1 ) 2 < 1 ⇔ - m < < 1 hay m > – 1 .
Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 9. Cho hàm số y= 2( m-1)x3- 6(m+ 2)x2+ 2 tìm m để y’ ≥0 ; ∀ x∈R?

A. m < - 2 B. m > 2 C. m > – 2 D. m = – 2

Hướng dẫn giải

+ Hàm số xác lập với mọi x ∈ R .
+ Đạo hàm của hàm số : y ‘ = 6 ( m-1 ) x2-12 ( m + 2 ). x
+ Để y ‘ ≥ 0 ; ∀ x ∈ R khi và chỉ khi :
6 ( m-1 ) x2-12 ( m + 2 ). x ≥ 0 đúng ∀ x ∈ R ( * )
+ Với m = 1 thì ( * ) trở thành : – 36 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ( loại )
+ Với m ≠ 1 thì để ( * ) đúng với mọi x thì :

Ví dụ 10.Tìm m để các hàm số y= mx3- 3mx2 + (9m- 3) x+ 3 có y’ ≤0 ; ∀x∈R.

A. m < 1 B. m < 0 C. m ≤ 0 D. m > 0

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác lập với mọi x .
Đạo hàm của hàm số là : y ‘ = 3 mx2 – 6 mx + 9 m – 3
Để y ‘ ≤ 0 ; ∀ x ∈ R thì 3 mx2 – 6 mx + 9 m – 3 ≤ 0 ; ∀ x ∈ R ( * )
+ Nếu m = 0 thì ( * ) trở thành : – 3 ≤ 0 ( luôn đúng với mọi x )
⇒ m = 0 thỏa mãn nhu cầu .
+ Nếu m ≠ 0 thì để ( * ) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi :

Ví dụ 11. Cho hàm số y= (kx-1)/(x-1). Xác định các giá trị của k để y’<0 ; ∀ x≠1

A. k < - 1 B. k > 1 C. k < - 2 D.k > 3

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x ≠ 1 .
Với mọi x ≠ 1 hàm số có đạo hàm là :

Ví dụ 12. Cho hàm số y= √(2×2+4). Với những giá trị nào của x thì y’=0?

A. x = 0 B. x = 1 C. x = 2 D. không có giá trị nào thỏa mãn nhu cầu

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác lập với mọi x .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y= x3 – x2+ 2000x+ 8. Phương trình y’= 0 có mấy nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Hiển thị lời giải
Ta có đạo hàm : y ‘ = 3×2 – 2 x + 2000
+ Để y ‘ = 0 thì 3×2 – 2 x + 2000 = 0 ( * )
Phương trình ( * ) vô nghiệm .
Vậy phương trình y ’ = 0 vô nghiệm .
Chọn A.

Câu 2: Cho hàm số y= 2×3-4×2+2x-9. Với giá trị nào của x thì y’<0?

A. x < 1 B. x < 1/3 C. x > 1 hoặc x < 1/3 D. 1/3 < x < 1 Hiển thị lời giải
+ Ta có đạo hàm y ‘ = 6×2 – 8 x + 2

+ Để y’<0 thì 6x2-8x+2 < 0 ⇔ 1/3

Vậy để y’> 0 thì 1/3
Chọn D.

Câu 3: Cho hàm số y= x4 -3×3 +2k.x2+ 4x – 6. Tìm k để phương trình y’=1 có một nghiệm là x= 1?

A. k = 50% B. k = 2/3 C. k = 2 D. k = – 3
Hiển thị lời giải
+ Ta có đạo hàm : y ‘ = 4×3 – 9×2 + 4 kx + 4 .
+ Để y ’ = 1 thì 4×3 – 9×2 + 4 kx + 4 = 1
⇔ 4×3 – 9×2 + 4 kx + 3 = 0. ( * )
Do phương trình y ’ = 1 có một nghiệm là x = 1 nên phương trình ( * ) có một nghiệm x = 1. Suy ra : 4.13 – 9.12 + 4. k. 1 + 3 = 0 ⇔ 4 k – 2 = 0
⇔ k = 50% .
Chọn A .

Câu 4: Cho hàm số y= x2-32√x+8. Nghiệm của phương trình y’=0 là

A.x = 1 B. x = 4 C. x = 9 D. Vô nghiệm
Hiển thị lời giải
Với mọi x > 0 ; hàm số đã cho có đạo hàm đạo hàm : y ‘ = 2 x – 16 / √ x .
Để y ‘ = 0 thì 2 x – 16 / √ x = 0 ⇒ 2 x √ x-16 = 0
⇔ x √ x = 8 ⇔ √ x = 2 nên x = 4 .
Chọn B.

Câu 5: Cho hàm số y= (x+2)/(x-3). Với những giá trị nào của x thì y’ >0

A. R. B. x > 0 C.R \ { 3 } D. Không có giá trị nào
Hiển thị lời giải

Câu 6: Cho hàm số y=(3x+1)/(2x+2). Giải phương trình y’= 4.

Hiển thị lời giải
Hàm số đã cho xác lập với mọi x ≠ – 1 .
Đạo hàm của hàm số đã cho với x ≠ – 1 là :

Câu 7: Cho hàm số y= (2 x2-2x)/(x+1). Phương trình y’=0 có nghiệm là?

A. x = – 1 hoặc x = 0 B. x = 0 C. x = 1 hoặc x = – 1 D. x = 2 hoặc x = – 1
Hiển thị lời giải
+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ – 1. Khi đó ; đạo hàm của hàm số là :

Câu 8: Cho hàm số y= x3 – mx2 + 3x+ 3. Với những giá trị nào của m để x= 6 là nghiệm của bất phương trình y’<3?

A. m > 6 B. m > 9 C.m < - 6 D. m < 9 Hiển thị lời giải
Ta có đạo hàm : y ’ = 3×2 – 2 mx + 3
Bất phương trình y ’ < 3 khi 3x2 - 2 mx + 3 <3 ⇔ 3x2 – 2 mx < 0 Do x = 6 là nghiệm của bât phương trình nên ta có : 3.62 – 2. m. 6 < 0 ⇔ 108 - 12 m < 0 hay m > 9 .
Chọn B.

Câu 9: Cho hàm số y= ( m+1)x3- 3(2m- 1)x2+ x tìm m để y’ ≤0 ; ∀ x∈R?

A. m < - 2 B. m > 2 C. m > – 2 D. Không có giá trị nào
Hiển thị lời giải
+ Hàm số xác lập với mọi x ∈ R .
+ Đạo hàm của hàm số : y ‘ = 3 ( m + 1 ) x2-6 ( 2 m – 1 ). x + 1
+ Để y ‘ ≤ 0 ; ∀ x ∈ R khi và chỉ khi :
3 ( m + 1 ) x2-6 ( 2 m – 1 ). x + 1 ≤ 0 đúng mọi x ∈ R ( * )
+ Với m = – 1 thì ( * ) trở thành : 18 x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ ( – 1 ) / 18 ( loại )
+ Với m ≠ – 1 thì để ( * ) đúng với mọi x thì :

Câu 10: Tìm m để các hàm số y= mx3- ( m- 2)x2 + ( m+ 1) x+ 7 có y’ ≤0 ; ∀x∈R.

A. m < 4 B. m > – 2 C. m ≤ 4 D. m ≤ – 4
Hiển thị lời giải
Hàm số đã cho xác lập với mọi x .
Đạo hàm của hàm số là : y ‘ = 3 mx2 – 2 ( m-2 ) x + m + 1
Để y ‘ ≤ 0 ; ∀ x ∈ R thì 3 mx2 – 2 ( m-2 ) x + m + 1 ≤ 0 ; ∀ x ∈ R ( * )
+ Nếu m = 0 thì ( * ) trở thành : 4 x + 1 ≤ 0 nên x ≤ ( – 1 ) / 4
⇒ m = 0 không thỏa mãn nhu cầu .
+ Để ( * ) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi :

Câu 11: Cho hàm số y= (2x+k)/(4x-1). Xác định các giá trị của k để y’<0 ; ∀ x≠1/4

Hiển thị lời giải
Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x ≠ 1/4 .
Với mọi x ≠ 1/4 hàm số có đạo hàm là :

Câu 12: Cho hàm số y= √(x2+4x+19). Xác định các giá trị của x là nghiệm của bất phương trình y’<0 ?

A. x < - 2 B. x > 4 C. x < 1 D. x > 2
Hiển thị lời giải
+ Ta có : x2 + 4 x + 19 = ( x + 2 ) 2 + 15 > 0 với mọi x nên hàm số đã cho luôn xác lập và có đạo hàm với mọi x .

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay