Bài toán liên quan đến quãng đường, vận tốc, gia tốc và thời gian – Ứng dụng tích phân
Với bài toán hoạt động giả sử vận tốc tức thời của vật là USD v \ left ( t \ right ) USD thì USD v \ left ( t \ right ) = s ‘ \ left ( t \ right ) USD
Gia tốc tức thời của vật : USD a \ left ( t \ right ) = v ‘ \ left ( t \ right ) = s ‘ ‘ \ left ( t \ right ) USD
Do đó quãng đường vật đi được từ thời gian USD { { t } _ { 1 } } USD đến USD { { t } _ { 2 } } USD là USD S = \ int \ limits_ { { { t } _ { 1 } } } ^ { { { t } _ { 2 } } } { v \ left ( t \ right ) dt. } USD
Vận tốc tức thời của vật: $v\left( t \right)=\int{a\left( t \right)dt}$
Ví dụ 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t \right)=-4t+20$ (m/s) trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
A. 25 m. B. 50 m. C. 10 m. D. 30 m.
Lời giải:
Khi vật dừng hẳn thì USD v = 0 \ Rightarrow – 4 t + 20 = 0 \ Leftrightarrow t = 5 \ left ( s \ right ). USD
Quãng đường vật đi được trong khoảng chừng thời hạn trên là : USD S \ left ( t \ right ) = \ int \ limits_ { 0 } ^ { 5 } { v \ left ( t \ right ) dt = \ int \ limits_ { 0 } ^ { 5 } { \ left ( – 4 t + 20 \ right ) dt = 50 } } USD m .
Chọn A.
Ví dụ 2: Một ô tô xuất phát với vận tốc ${{v}_{1}}\left( t \right)=2t+12\,\,\left( m/s \right),$ sau khi đi được khoảng thời gian ${{t}_{1}}$ thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc ${{v}_{2}}\left( t \right)=24-6t\left( m/s \right),$ và đi thêm một khoảng thời gian ${{t}_{2}}$ nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét ?
A. $12\text{ }m.$ B. $156\text{ }m.$ C. $108\text{ }m.$ D. $48\text{ }m.$
Lời giải:
Ta có : USD { { v } _ { 02 } } = 24 \, \, \ left ( m / s \ right ) USD do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là USD 24 \, \, m / s USD
Khi đó USD { { v } _ { 1 } } \ left ( t \ right ) = 2 t + 12 = 24 \ Leftrightarrow t = 6 \, \, \ left ( s \ right ) USD
Vật dừng lại khi USD { { v } _ { 2 } } \ left ( t \ right ) = 24-6 t = 0 \ Leftrightarrow { { t } _ { 2 } } = 4 \, \, \ left ( s \ right ) USD
Quãng đường vật đi được là : USD s = \ int \ limits_ { 0 } ^ { 6 } { { { v } _ { 1 } } \ left ( t \ right ) dt } + \ int \ limits_ { 0 } ^ { 4 } { { { v } _ { 2 } } \ left ( t \ right ) dt = \ int \ limits_ { 0 } ^ { 6 } { \ left ( 2 t + 12 \ right ) dt } + \ int \ limits_ { 0 } ^ { 4 } { \ left ( 24-6 t \ right ) dt } } = 156 \ text { } m. USD
Chọn B.
Ví dụ 3: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc ${{v}_{0}}=16\,\,\left( m/s \right)$ thì tăng tốc với gia tốc $a\left( t \right)={{t}^{2}}+3t\,\,\left( m/{{s}^{2}} \right).$ Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian $4s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
A. $\frac{160}{3}\,\,\left( m \right).$ B. $\frac{352}{3}\,\,\left( m \right).$ C. $\frac{400}{3}\,\,\left( m \right).$ D. $\frac{250}{3}\,\,\left( m \right).$
Lời giải:
Ta có : USD v \ left ( t \ right ) = \ int { a \ left ( t \ right ) dt = \ int { \ left ( { { t } ^ { 2 } } + 3 t \ right ) dt = \ frac { { { t } ^ { 3 } } } { 3 } } + \ frac { 3 { { t } ^ { 2 } } } { 2 } } + C USD
Khi đó ${{v}_{0}}=v\left( 0 \right)=C=16\Rightarrow v\left( t \right)=\frac{{{t}^{3}}}{3}+\frac{3{{t}^{2}}}{2}+16$
Khi đó quãng đường đi được bằng : USD s \ left ( t \ right ) = \ int \ limits_ { 0 } ^ { 4 } { v \ left ( t \ right ) dt = \ int \ limits_ { 0 } ^ { 4 } { \ left ( \ frac { { { t } ^ { 3 } } } { 3 } + \ frac { 3 { { t } ^ { 2 } } } { 2 } + 16 \ right ) dt } } USD
$\left. \left( \frac{{{t}^{4}}}{12}+\frac{{{t}^{3}}}{2}+16t \right) \right|_{0}^{4}=\frac{352}{3}\,\,\left( m \right).$ Chọn B.
Ví dụ 4: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${{v}_{1}}\left( t \right)=2t\,\,\left( m/s \right).$ Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-12\,\,\left( m/{{s}^{2}} \right).$ Tính quãng đường $s\left( m \right)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn
A. $s=168\,\,m.$ B. $s=166\,\,m.$ C. $s=144\,\,m.$ D. $s=152\,\,m.$
Lời giải:
Quãng đường xe đi được trong 12 s đầu là : USD { { s } _ { 1 } } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { 12 } { 2 tdt = 144 \ text { } m. } USD
Sau khi đi được 12 s vật đạt vận tốc USD v = 24 \, \, m / s, USD sau đó vận tốc của vật có phương trình USD v = 24-12 t USD
Vật dừng hẳn sau USD 2 \ text { } s USD kể từ khi phanh .
Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là : USD { { s } _ { 2 } } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { 2 } { \ left ( 24-12 t \ right ) dt = 24 \ text { } m. } USD
Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}=144+24=168\text{ }m.$ Chọn A.
Ví dụ 5: Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian $t\left( s \right)$ là $a\left( t \right)=2t-7\,\left( m/{{s}^{2}} \right).$ Biết vận tốc ban đầu bằng $10\,\,\left( m/s \right),$ hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
A. $5\,\,\left( s \right).$ B. $6\,\,\left( s \right).$ C. $1\,\,\left( s \right).$ D. $2\,\,\left( s \right).$
Lời giải:
Vận tốc của vật được tính theo công thức USD v \ left ( t \ right ) = 10 + { { t } ^ { 2 } } – 7 t \, \, \ left ( m / s \ right ). USD
Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức USD S \ left ( t \ right ) = \ int { v \ left ( t \ right ) dt = \ frac { { { t } ^ { 3 } } } { 3 } – \ frac { 7 } { 2 } { { t } ^ { 2 } } + 10 t \, \, \ left ( m \ right ). } USD
Ta có USD { S } ‘ \ left ( t \ right ) = { { t } ^ { 2 } } – 7 t + 10 \ Rightarrow { S } ‘ \ left ( t \ right ) = 0 \ Leftrightarrow { { t } ^ { 2 } } – 7 t + 10 = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { align } và t = 2 \ \ và t = 5 \ \ \ end { align } \ right .. USD
Suy ra $\left\{ \begin{align} & S\left( 0 \right)=0 \\ & S\left( 2 \right)=\frac{26}{6} \\ & S\left( 5 \right)=\frac{25}{6} \\ & S\left( 6 \right)=6 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 0;6 \right]}{\mathop{Max}}\,S\left( t \right)=S\left( 2 \right)=\frac{26}{3}.$ Chọn D.
Ví dụ 6: [Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh 2017] Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật $v\left( t \right)=10t-{{t}^{2}},$ trong đó $t$ (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, $v\left( t \right)$ được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc $v$ của khí cầu là
A. $v=7\,\,\left( m/p \right).$ B. $v=9\,\,\left( m/p \right).$ C. $v=5\,\,\left( m/p \right).$ D. $v=3\,\,\left( m/p \right).$
Lời giải:
Khi khởi đầu tiếp đất vật hoạt động được quãng đường là USD s = 162 \, \, m USD
Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay
