Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz – Wikipedia tiếng Việt

Bài này viết về bất đẳng thức trong phép nhân vectơ. Đối với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân, xem Bất đẳng thức Cauchy

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz, bất đẳng thức Cauchy, hoặc bằng cái tên khá dài là bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz, đặt theo tên của Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz, là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai.

Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovsky hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovsky – Cauchy – Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS. Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy.

Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu xy là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì

Bạn đang đọc: Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz – Wikipedia tiếng Việt

| ⟨ x, y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x, x ⟩ ⋅ ⟨ y, y ⟩. { \ displaystyle | \ langle x, y \ rangle | ^ { 2 } \ leq \ langle x, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle. }{\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .}

Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi xy phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của xy là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng 0.

Như vậy, có vẻ như như bất đẳng thức này cho thấy có mối tương quan giữa khái niệm ” góc của hai vector ” với khái niệm tích trong, mặc dầu những khái niệm của hình học Euclide hoàn toàn có thể không còn mang khá đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm những khoảng trống tích trong là một sự tổng quát hoá của khoảng trống Euclide .Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz : tích trong là một hàm liên tục .Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên khoảng trống định chuẩn

| ⟨ x, y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖. { \ displaystyle | \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ cdot \ | y \ |. \, }{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,}

Năm 1821, Cauchy chứng tỏ bất đẳng thức này trong trường hợp những vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là Bunyakovsky nhận xét rằng khi tất cả chúng ta lấy số lượng giới hạn tất cả chúng ta hoàn toàn có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp khoảng trống tích trong được chứng tỏ bởi Schwarz vào năm 1888 .

Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử y

> khác 0. Giả sử

λ

{\displaystyle \lambda }

{\displaystyle \lambda } là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

0 ≤ ‖ x − λ y ‖ 2 = ⟨ x − λ y, x − λ y ⟩ = ⟨ x, x ⟩ − λ ⟨ x, y ⟩ − λ ¯ ⟨ y, x ⟩ + | λ | 2 ⟨ y, y ⟩. { \ displaystyle 0 \ leq \ left \ | x – \ lambda y \ right \ | ^ { 2 } = \ langle x – \ lambda y, x – \ lambda y \ rangle = \ langle x, x \ rangle – \ lambda \ langle x, y \ rangle – { \ bar { \ lambda } } \ langle y, x \ rangle + | \ lambda | ^ { 2 } \ langle y, y \ rangle. }{\displaystyle 0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -\lambda \langle x,y\rangle -{\bar {\lambda }}\langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .}

Chọn

λ = ⟨ y, x ⟩ ⋅ ⟨ y, y ⟩ − 1 { \ displaystyle \ lambda = \ langle y, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle ^ { – 1 } }{\displaystyle \lambda =\langle y,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}

tất cả chúng ta được

0 ≤ ⟨ x, x ⟩ − | ⟨ x, y ⟩ | 2 ⋅ ⟨ y, y ⟩ − 1 { \ displaystyle 0 \ leq \ langle x, x \ rangle – | \ langle x, y \ rangle | ^ { 2 } \ cdot \ langle y, y \ rangle ^ { – 1 } }{\displaystyle 0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

| ⟨ x, y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x, x ⟩ ⋅ ⟨ y, y ⟩ { \ displaystyle | \ langle x, y \ rangle | ^ { 2 } \ leq \ langle x, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle }{\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }

hay tương tự :

| ⟨ x, y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖. { \ displaystyle { \ big | } \ langle x, y \ rangle { \ big | } \ leq \ left \ | x \ right \ | \ left \ | y \ right \ |. }{\displaystyle {\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|.}

Một số trường hợp đặc biệt quan trọng đáng chú ý quan tâm[sửa|sửa mã nguồn]

  • Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành
( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) { \ displaystyle \ left ( \ sum _ { i = 1 } ^ { n } x_ { i } y_ { i } \ right ) ^ { 2 } \ leq \ left ( \ sum _ { i = 1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } \ right ) \ left ( \ sum _ { i = 1 } ^ { n } y_ { i } ^ { 2 } \ right ) }{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)}tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh:

|

x

y

|

=

|

x

|

|

y

|

|

cos

θ

|

|

x

|

|

y

|

{\displaystyle |\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} ||\cos \theta |\leq |\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}

{\displaystyle |\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} ||\cos \theta |\leq |\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng:

⟨ x, x ⟩ ⋅ ⟨ y, y ⟩ = | ⟨ x, y ⟩ | 2 + | x × y | 2. { \ displaystyle \ langle x, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle = | \ langle x, y \ rangle | ^ { 2 } + | x \ times y | ^ { 2 }. }{\displaystyle \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}.}

Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức

  • Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có
| ∫ f ( x ) g ( x ) d x | 2 ≤ ∫ | f ( x ) | 2 d x ⋅ ∫ | g ( x ) | 2 d x. { \ displaystyle \ left | \ int f ( x ) g ( x ) \, dx \ right | ^ { 2 } \ leq \ int \ left | f ( x ) \ right | ^ { 2 } \, dx \ cdot \ int \ left | g ( x ) \ right | ^ { 2 } \, dx. }{\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx.}

Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder .

Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng Engel

(

a

1

+

a

2

+
.
.
.
+

a

n

1

+

a

n

)

2

b

1

+

b

2

+
.
.
+

b

n

1

+

b

n

a

1

2

b

1

+

a

2

2

b

2

+
.
.
.
+

a

n

1

2

b

n

1

+

a

n

2

b

n

{\displaystyle {\frac {(a_{1}+a_{2}+…+a_{n-1}+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+..+b_{n-1}+b_{n}}}\leq {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+…+{\frac {a_{n-1}^{2}}{b_{n-1}}}+{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}}

{\displaystyle {\frac {(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+..+b_{n-1}+b_{n}}}\leq {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+...+{\frac {a_{n-1}^{2}}{b_{n-1}}}+{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}}

Một vài ứng dụng[sửa|sửa mã nguồn]

Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz như sau: cho các vector xy,

‖ x + y ‖ 2 { \ displaystyle \ | x + y \ | ^ { 2 } }{\displaystyle \|x+y\|^{2}}
= ⟨ x + y, x + y ⟩ { \ displaystyle = \ langle x + y, x + y \ rangle }{\displaystyle =\langle x+y,x+y\rangle }
= ‖ x ‖ 2 + ⟨ x, y ⟩ + ⟨ y, x ⟩ + ‖ y ‖ { \ displaystyle = \ | x \ | ^ { 2 } + \ langle x, y \ rangle + \ langle y, x \ rangle + \ | y \ | }{\displaystyle =\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|}
≤ ‖ x ‖ 2 + 2 | ⟨ x, y ⟩ | + ‖ y ‖ 2 { \ displaystyle \ leq \ | x \ | ^ { 2 } + 2 | \ langle x, y \ rangle | + \ | y \ | ^ { 2 } }{\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}}
≤ ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ + ‖ y ‖ 2 { \ displaystyle \ leq \ | x \ | ^ { 2 } + 2 \ | x \ | \ | y \ | + \ | y \ | ^ { 2 } }{\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}}
≤ ( ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ) 2 { \ displaystyle \ leq \ left ( \ | x \ | + \ | y \ | \ right ) ^ { 2 } }{\displaystyle \leq \left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}}

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác .

Một số dạng cơ bản[sửa|sửa mã nguồn]

Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thường thì[sửa|sửa mã nguồn]

  • (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
  • Chứng minh: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² ↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)² ↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² – 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad – bc)² ≥ 0
  • Dấu ” = ” xảy ra khi a c = b d { \ displaystyle { \ frac { a } { c } } = { \ frac { b } { d } } }{\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}}

Để thuận tiện chứng tỏ ta thường đưa về dạng hai vecto có tọa độ trong mặt phẳng Oxy rồi vận dụng công thức như trên .

Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số[sửa|sửa mã nguồn]

  • Với hai bộ số ( a 1 ; a 2 ;. .. ; a n ) { \ displaystyle ( a_ { 1 } ; a_ { 2 } ; … ; a_ { n } ) }{\displaystyle (a_{1};a_{2};...;a_{n})}( b 1 ; b 2 ;. .. ; b n ) { \ textstyle ( b_ { 1 } ; b_ { 2 } ; … ; b_ { n } ) }{\textstyle (b_{1};b_{2};...;b_{n})}

(

a

1

2

+

a

2

2

+
.
.
.
+

a

n

2

)

(

b

1

2

+

b

2

2

+
.
.
.
+

b

n

2

)

(

a

1

b

1

+

a

2

b

2

+
.
.
.
+

a

n

b

n

)

2

{\displaystyle \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2}\right)\geq \left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}\right)^{2}}

{\displaystyle \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}\right)\geq \left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}\right)^{2}}

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments