Hằng đẳng thức và ứng dụng trong giải toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (433.1 KB, 75 trang )

1

Hằng đẳng thức và ứng dụng trong giải toán

Tạ Dung

2
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong chương I thuộc chương trình Đại số lớp 8 “Phép nhân và phép
chia các đa thức”, học sinh đã được giới thiệu các kiến thức cơ bản về các
hằng đẳng thức đáng nhớ và biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải
toán. Tuy nhiên, nhiều học sinh chưa hiểu được phương pháp vận dụng và
gặp nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến hằng đẳng thức.
Việc hình thành được khả năng vận dụng được bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
và mở rộng của chúng sẽ làm tiền đề cho học sinh học tốt môn đại số và tạo
nền tảng để học tập các kiến thức tiếp theo. Bên cạnh đó, vì các lí do chủ quan
và khách quan nên việc học sinh nắm chắc và hiểu sâu kiến thức để vận dụng
hằng đẳng thức vào giải các bài tập toán liên quan như: Phân tích đa thức
thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức, và đặc biệt là
chứng minh chia hết… còn chưa được chú trọng nhiều.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ không những giúp cho chúng ta một
phương pháp tính nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu thức, hay sử
dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất mà nó còn cho ta một ứng dụng
hết sức độc đáo đó là giải phương trình, hệ phương trình và chứng minh bất
đẳng thức. Đây là các dạng toán cơ bản và khó, thường gặp trong kỳ thi học
sinh giỏi và thi vào lớp 10. Bên cạnh nhiều phương pháp giải như phương
pháp đặt ẩn phụ, đưa về phương trình tích, dùng bất đẳng thức, qui về phương
trình bậc hai thì khá nhiều bài toán sẽ được giải quyết một cách ngắn gọn nếu
biết sử dụng các hằng đẳng thức. Tuy nhiên, ứng dụng của các hằng đẳng

thức trên đối với các bài tập trong sách giáo khoa cũng chỉ dừng lại ở mức độ
đơn giản. Hơn nữa, theo hiểu biết của cá nhân em thì hiện nay rất ít tài liệu
tham khảo giới thiệu cho giáo viên và học sinh các phương pháp biến đổi để
ứng dụng hằng đẳng thức vào giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh
bất đẳng thức.

Tạ Dung

3
Việc nghiên cứu các ứng dụng của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và mở
rộng của chúng đã và đang thu hút được sự quan tâm của giáo viên toán trung
học cơ sở và học sinh yêu thích môn toán. Nhiều giáo viên phổ thông đã
nghiên cứu về hằng đẳng thức và vận dụng nó trong giải toán thể hiện qua các
sáng kiến kinh nghiệm của họ (xem [3, 4, 5]).
Với mong muốn giúp các học sinh yêu thích môn toán, những bạn sinh
viên muốn tìm hiểu về các hằng đẳng thức và ứng dụng của nó, và hơn nữa để
bản thân em hiểu sâu sắc hơn các kiến thức toán phổ thông phục vụ cho công
việc trong tương lai, em mạnh dạn chọn đề tài “Hằng đẳng thức và ứng
dụng trong giải toán” cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
Trình bày các kiến thức về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng
đẳng thức mở rộng, ứng dụng của chúng vào giải toán sơ cấp. Đồng thời đề
xuất một số bài tập có lời giải và không có lời giải nhằm khắc sâu hơn kiến
thức về hằng đẳng thức và ứng dụng của chúng trong giải toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
– Nghiên cứu bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức
mở rộng.
– Nghiên cứu một số dạng toán về biểu thức, phép chia hết và chia có
dư, số chính phương, giải phương trình và hệ phương trình, các bài toán về

đẳng thức và bất đẳng thức.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình, sách giáo khoa có liên quan đến hằng đẳng thức, cách giải các bài toán
thông qua việc sử dụng hằng đẳng thức, hệ thống hóa các kiến thức.
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo
tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
• Phương pháp lấy ý kiến: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng
dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa
luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tạ Dung

4
• Đối tượng: Các hằng đẳng thức đáng nhớ và mở rộng.
• Phạm vi: Các dạng toán về hằng đẳng thức và ứng dụng của chúng
trong giải toán sơ cấp.
6. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn
Khoá luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những khiến thức về hằng
đẳng thức đồng đưa ra một số dạng toán cơ bản liên quan đến vận dụng hằng
đẳng.
Khoá luận có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán,
giáo viên toán trung học cơ sở và học sinh yêu thích môn toán.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận dự kiến
được chia thành ba chương.
Chương 1: Các hằng đẳng thức.
Chương 2: Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán.
Chương 3: Bài tập.

Tạ Dung

5
CHƯƠNG I. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức về bảy hằng đẳng
thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng kèm theo chứng minh. Bên
cạnh đó, chúng tôi cũng giới thiệu thêm về mối liên hệ giữa tam giác Pascal
và các hằng đẳng thức.
1.1. Tam giác Pascal và hằng đẳng thức
Pascal viết về tam giác số thông qua một quyển sách có tên là “Luận lí
trong tam giác số học”. Nhưng Pascal không phải là người đầu tiên nghiên
cứu tam giác này mặc dù công bố công trình nghiên cứu của ông gây ngạc
nhiên cho mọi người thời ấy. Trước đây vào thế kỷ thứ 10, một nhà toán học
người Ấn Độ nhận thấy các con số này hữu ích cho việc đại diện cho số kết
hợp các âm thanh ngắn và dài trong thơmet. Các tam giác này cũng xuất hiện
trong những bài viết của Omar Khayyam, nhà thiên văn học ở thế kỷ 17, nhà
thơ, nhà triết học và là nhà toán học hiện đại ở Iran ( xem [6]).
Tam giác số Pascal được thiết lập như sau:
+) Dòng thứ nhất gồm một số 1
+) Dòng thứ hai gồm hai số 1
+) Với N > 2, dòng thứ N gồm N số, trong đó số thứ nhất và số thứ N bằng 1,
còn các số khác bằng tổng của hai số đứng kề nhau ở dòng thứ N − 1 từ trái
qua phải.
1
1
1
1
1

Tạ Dung

1
2

3
4

1
3

6

1
4

1

6
Chúng ta dùng tam giác Pascal để khai triển các biếu thức (a + b) n như sau:
1
1
1
1

1

1

2

3

1

4
5

( a + b) 0 = 1
(a + b)1 = a + b
1
3

6
10

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
1

4
10

(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
1

5

(a + b) 4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4
1

(a + b)5 = a 5 + 5a 4b + 10a 3b 2 + 10a 2b3 + 5ab 4 + b5

Chúng ta dùng tam giác Pascal để khai triển các biếu thức (a − b) n như sau:
1
1
1
1

1

1
2

3

1

4
5

( a − b) 0 = 1

1
3

6
10

(a − b)1 = a − b

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
1
4

10

(a − b)3 = a3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
1

5

(a − b) 4 = a 4 − 4a 3b + 6a 2b 2 − 4ab3 + b 4
1

(a − b)5 = a 5 − 5a 4b + 10a 3b 2 − 10a 2b3 + 5ab 4 − b5

Chúng ta đánh số mỗi hàng của tam giác Pascal theo thứ tự bắt đầu là
hàng số 0, tiếp đến là hàng số 1, hàng số 2,……
Còn trên mỗi hàng chúng ta sắp xếp thứ tự các con số bắt đầu là con số
thứ 0, tiếp đến là con số thứ 1, rồi con số thứ 2,…………
Gọi con số thứ k ở hàng thứ n là Cnk. Từ đó suy ra công thức để xây
(1 < k < n)dựng tam giác Pascal là: Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk
hàng 0

1

hàng 1

1

hàng 2

1

hàng 3
hàng 4
Tạ Dung

1
1

1
2

3
C41

1
3

C42

1
4

1

7
hàng 5

1

5

C52

10

5

1

ô

ô

ô

ô

ô

ô

thứ

thứ

thứ

thứ

thứ

thứ

0

1

2

3

4

5

k
Công thức tổng quát của Cnk là: Cn =

2
Ví dụ: C5 =

n!
k !( n − k ) !

5!
1.2.3.4.5
=
= 10
2!( 5 − 2 ) ! 1.2.1.2.3

Có thể thấy rằng tam giác Pascal có liên quan mật thiết đến các hằng
đẳng thức cụ thể là:
1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2) (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
3) a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
4) (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
5) (a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
6) a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
7) a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
Trong các hằng đẳng thức 1, 2, 4, 5, ta có thể thấy:
+) Ở những phép cộng trong dấu ngoặc thì phá ra hoàn toàn là thế
+) Còn nếu là dấu trừ thì dấu cộng đầu tiên rồi đến dấu trừ cứ thế đan xen nhau
+) Các biến: lũy thừa của a giảm dần, lũy thừa của b tăng dần.
Từ tam giác Pascal bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được
định lí về nhị thức Newton.
Định lí về nhị thức Newton
n

(a + b) n = ∑ Cnk a n−k b k
k =0

+) Số các số hạng của công thức là n + 1
Tạ Dung

8
+) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị
thức là:
k + (n − k ) = n
+) Số hạng tổng quát của nhị thức là Tk +1 = Cnk a n −k b k (Đó là số hạng thứ k +1
trong khai triển (a + b) n )
+) Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau
1.2. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
+) Bình phương của một tổng: Bình phương một tổng bằng bình phương số
thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng số thứ hai bình
phương:

( a + b)

2

= a 2 + 2ab + b 2

+) Bình phương của một hiệu: Bình phương một hiệu bằng bình phương số
thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng số thứ hai bình
phương:

( a − b)

2

= a 2 − 2ab + b 2

+) Hiệu hai bình phương: Hiệu hai bình phương bằng tổng của số thứ nhất và

số thứ hai nhân với hiệu của số thứ nhất và số thứ hai:
a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b )
+) Lập phương của một tổng: Lập phương của một tổng bằng lập phương của
số thứ nhất, cộng ba lần số thứ nhất bình phương nhân với số thứ hai, cộng ba
lần số thứ nhất nhân số thứ hai bình phương, cộng số thứ hai lập phương:

( a + b)

3

= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3

+) Lập phương của một hiệu: Lập phương của một hiệu bằng lập phương của
số thứ nhất, trừ ba lần số thứ nhất bình phương nhân với số thứ hai, cộng ba
lần số thứ nhất nhân số thứ hai bình phương, trừ số thứ hai lập phương:

( a − b)

Tạ Dung

3

= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3

9
+) Tổng hai lập phương: Tổng hai lập phương bằng tổng của số thứ nhất và số
thứ hai, nhân với bình phương số thứ nhất trừ tích số thứ nhất và số thứ
hai cộng bình phương số thứ hai:

a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
+) Hiệu hai lập phương: Hiệu hai lập phương bằng hiệu số thứ nhất và số thứ
hai, nhân với bình phương số thứ nhất cộng tích số thứ nhất và số thứ
hai cộng bình phương số thứ hai:

a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
Chú ý:
+) Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau
ngược lại hai số đối nhau, bằng nhau thì có bình phương bằng nhau:

( a − b)

2

= ( b − a)

2

+) Ngoài ra ta có thể viết: ( a + b ) = a 3 + b3 + 3ab(a + b)
3

(a − b)3 = a 3 − b3 − 3ab ( a − b )
Hệ quả:
1) Từ hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2. Đặt a = x ,b = y ta được:
2

x + 2 xy + y =

(

x+ y

)

2

với x, y là các số thực không âm.

2) Từ hằng đẳng thức ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2. Đặt a = x, b = 1 ta được:
2

x − 2 x +1 =

(

)

x −1

2

với x là số thực không âm.

2
2
3) Từ hằng đẳng thức: a − b = ( a + b ) ( a − b ). Đặt a = x, b = y ta được:

x− y=

( x) −( y) =(

2

2

x− y

)(

x+ y

)

với x, y là các số thực không

âm.
3
3
2
2
4) Từ hằng đẳng thức: a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) .

Đặt a = x, b = y ta được:

Tạ Dung

10

( x) +( y) =(
3

3

x+ y

)(x−

)

xy + y = x x + y y với x, y là các số

thực không âm.
3
3
2
2
5) Từ hằng đẳng thức: a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) .

Đặt a = 1, b = y ta được: 1 −

( ) = (1− y ) (1+
y

3

)

y + y = 1 − y y với y

là số thực không âm.

6) Với a, b là các số thực không âm thì
a b + b a = a 2b + b 2a = ab

(

a+ b

)

7) Với a là số thực không âm thì
a + a = a 2 + a = a ( a + 1)
8) Từ hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ta thêm vào hai vế −2ab ta
2

được:

a 2 + b 2 + 2ab − 2ab = (a + b) 2 − 2ab = a 2 + b 2 hay a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab
9) Từ hai hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 và ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ,
2

2

trừ vế với vế ta được: (a + b) 2 − ( a − b ) = 4ab hay (a + b) 2 = ( a − b ) + 4ab
2

2

2
2
10) Từ hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2, ta thêm − ( a + b ) vào hai vế

2

2
2
2
ta được: (a + b) − (a + b ) = 2ab
2
2
11) Từ hằng đẳng thức ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ta thêm − ( a + b ) vào hai vế
2

2
2
2
ta được: (a − b) − (a + b ) = −2ab
3
3
12) Từ hằng đẳng thức: ( a + b ) = a 3 + b3 + 3ab(a + b) ta thêm − ( a + b ) vào
3

3
3
3
hai vế ta được: (a + b) − ( a + b ) = 3ab(a + b)
3
3
13) Từ hằng đẳng thức: ( a − b ) = a 3 − b 3 + 3ab(a − b) ta thêm − ( a − b ) vào
3

3

3
hai vế ta được: ( a − b ) − ( a − b ) = 3ab(a − b)
3

1.3. Một số hằng đẳng thức mở rộng
(1) ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
2

Tạ Dung

11
Chứng minh:
2
2
2
Áp dụng hằng đẳng thức: (a + b) = a + 2ab + b ta được:

( a + b + c)

2

= ((a + b) + c) 2
= (a + b) 2 + 2( a + b)c + c 2

= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
(2) ( a + b − c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab − 2bc − 2ac
2

Chứng minh

2
2
2
2
2
2
Áp dụng hằng đẳng thức: (a + b) = a + 2ab + b và (a − b) = a − 2ab + b

ta được:

( a + b − c)

2

= ((a + b) − c ) 2
= (a + b) 2 − 2( a + b)c + c 2

= a 2 + b2 + c 2 + 2ab − 2bc − 2ac
(3) ( a − b − c ) = a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac + 2bc
2

Chứng minh
2
2
2
Áp dụng hằng đẳng thức: (a − b) = a − 2ab + b ta được:

( a − b − c)

2

= ((a − b) − c ) 2
= (a − b) 2 − 2(a − b)c + c 2

= a 2 + b2 + c 2 − 2ab − 2ac + 2bc
3
3
3
3
(4) (a + b + c) = a + b + c + 3( a + b)(b + c)( a + c)

Chứng minh
3
3
3
Áp dụng hằng đẳng thức: (a + b) = a + b + 3ab( a + b) ta được:

(a + b + c) 3 = (( a + b) + c)3
= (a + b)3 + c 3 + 3(a + b)c( a + b + c)

= a 3 + b3 + 3ab( a + b) + c 3 + 3(a + b)c (a + b + c)

= a 3 + b 3 + c 3 + 3(a + b)(ab + c(a + b + c ))
Tạ Dung

12

= a 3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a(b + c) + c(b + c))
= a 3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)

Từ: ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )
3

Suy ra: a 3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) − 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )
3

3
3
3
2
2
2
(5) a + b + c − 3abc = (a + b + c )(a + b + c − ab − bc − ac )

Chứng minh
Từ ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ), ta có
3

a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) − 3( a + b ) ( b + c ) ( c + a )
3

Do đó

a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (a + b + c )3 − 3(a + b)(b + c )(a + c ) − 3abc
= ( a + b + c ) − 3abc − 3ab(a + b) − 3(a + b)c (a + b + c )
3

= (a + b + c)3 − 3ab(a + b + c ) − 3(ac + bc )(a + b + c )

= (a + b + c)3 − 3( a + b + c)(ab + ac + bc )

= (a + b + c)((a + b + c) 2 − 3(ab + bc + ac ))

= (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc)
1
2
2
2
= (a + b + c) ( a − b ) + ( b − c ) + ( a − c ) 
2
(6) ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3ab(a + b) + 3c (a + b)(a + b + c )
3

Chứng minh
Áp dụng hằng đẳng thức: ( a + b ) = a 3 + b3 + 3ab(a + b), ta được:
3

( a + b + c)

3

= ( ( a + b) + c)

3

= ( a + b ) + c 3 + 3c ( a + b ) (a + b + c)
3

= a 3 + b3 + 3ab(a + b) + 3c (a + b)(a + b + c)
Tạ Dung

13
2
2
2
(7) ( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) − 8abc = a (b − c ) + b(c − a ) + c (a − b)

Chứng minh
Sử dụng hằng đẳng thức: ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2, ta có
2

( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) − 8abc = (ac + bc + b

2

+ ab)(a + c ) − 8abc

= a 2 c + ac 2 + abc + bc 2 + b 2 a + b 2c + a 2b + abc − 8abc
= (a 2c − 2abc + b 2c) + (ba 2 − 2abc + bc 2 ) + (b 2 a − 2abc + ac 2 )
= c(a − b) 2 + b(c − a ) 2 + a (b − c ) 2
(8) ( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ac ) − abc
Chứng minh

( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) = (a + b)(a(b + c) + c(b + c))
= ab( a + b) + c( a + b + c)(a + b)
= ab(a + b + c) + (ac + bc)( a + b + c) − abc
= (a + b + c)(ab + ac + bc ) − abc
(9) ab + bc + ca − ba − cb − ac
2

2

2

2

2

2

( a − b)
=

3

+ ( b − c) + ( c − a)
3
3

3

Chứng minh
ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − cb 2 − ac 2

(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − cb 2 − ac 2 )
=3
3
(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − cb 2 − ac 2 )
= a − a + b − b + c − c +3
3

3

=

3

3

3

3

3

( a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 ) + (b3 − 3b 2c + 3bc 2 − c 3 ) + (c 3 − 3c 2 a + 3ca 2 − a 3 )
3

Áp dụng hằng đẳng thức: ( a − b ) = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 ta được
3

ab + bc + ca − ba − cb − ac
2

2

2

2

2

2

( a − b)
=

(10) ab + bc + ca − ba − cb − ac =
3

Tạ Dung

3

3

3

3

3

3

+ ( b − c) + ( c − a)
3
3

3

(a + b + c )  (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a )3 

3

14
Chứng minh

ab3 + bc3 + ca 3 − ba 3 − cb3 − ac 3 = a 2b 2 − a 2b 2 + abc 2 − abc 2 + ab 2c − ab 2c
+ a 2c 2 − a 2c 2 + b 2 c 2 − b 2c 2 + a 2bc − a 2bc + ab 3 + bc 3 + ca 3 − ba 3 − cb3 − ac 3
= (a 2b 2 + abc 2 + ca 3 − ba 3 − ab 2c − a 2c 2 ) + (ab 3 + b 2c 2 + a 2bc − a 2b 2 − b 3c − abc 2 )
+ (cab 2 + bc 3 + c 2 a 2 − a 2bc − c 2b 2 − ac 3 )

= a(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2c − ac 2 ) + b(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2c − ac 2 )
+ c(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2c − ac 2 )
= ( a + b + c)( ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2c − ac 2 )
Từ đẳng thức ab + bc + ca − ba − cb − ac
2

2

2

2

2

2

( a − b)
=

3

+ ( b − c) + ( c − a)
3
3

ta suy ra
ab + bc + ca − ba − cb − ac
2

2

2

2

2

2

( a − b)
=

3

+ ( b − c) + ( c − a)
3
3

3

Do đó

ab3 + bc3 + ca 3 − ba 3 − cb3 − ac 3
= (a + b + c)(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2c − ac 2 )
=

( a + b + c) (a − b)3 + (b − c )3 + (c − a )3 
3

n
n
n −1
n− 2
n −3 2
2 n −3
n−2
n −1
(11) a − b = ( a − b ) ( a + a b + a b + … + a b + ab + b )

Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
2
2
Với n = 2 ta có a − b = ( a − b ) ( a + b ) đây là hằng đẳng thức thứ 3;

3
3
2
2

Với n = 3 ta có a − b = (a − b)(a + ab + b ) đây là hằng đẳng thức thứ 7,

Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

a k − b k = ( a − b ) ( a k −1 + a k − 2b + a k −3b 2 + … + a 2b k −3 + ab k − 2 + b k −1 )
Ta phải chứng minh:

a k +1 − b k +1 = ( a − b ) ( a k + a k −1b + a k −2b 2 + … + a 2b k −2 + ab k −1 + b k )
Tạ Dung

3

15
Thật vậy, ta có:
a k +1 − b k +1 = a k +1 − ba k + ba k − b k +1

b( a k − b k )
= a ( a − b) + ( a − b)
a−b
k

b( a k − b k )
= ( a − b)(a +
)
a −b
k

 k b ( a − b ) ( a k −1 + a k −2b + a k −3b 2 + … + a 2b k −3 + ab k −2 + b k −1 )
= ( a − b)  a +


a−b



÷
÷


= ( a − b ) ( a k + b ( a k −1 + a k − 2b + a k −3b 2 + … + a 2b k −3 + ab k −2 + b k −1 ) )
k
k −1
k −2 2
2 k −2
k −1
k
= ( a − b ) ( a + a b + a b + … + a b + ab + b )

(12) Với n lẻ thì

a n + b n = ( a + b ) ( a n −1 − a n − 2b + a n −3b 2 − … + a 2b n−3 − ab n −2 + b n −1 )
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
3
3
2
2
Với n = 3 ta có a + b = (a + b)(a − ab + b ) đây là hằng đẳng thức thứ 6,

Giả sử với n = 2k + 1 ≥ 3 ta có:

a 2 k +1 + b 2 k +1 = ( a + b ) ( a 2 k − a 2 k −1b + a 2 k −2b 2 − … + a 2b 2 k − 2 − ab 2 k −1 + b 2 k )
Ta phải chứng minh:

a 2 k +3 + b 2 k +3 = ( a + b ) ( a 2 k + 2 − a 2 k +1b + a 2 k b 2 − … + a 2b 2 k − ab 2 k +1 + b 2 k +2 )
Thật vậy, ta có:

a 2 k +3 + b 2 k +3 = a 2 k +3 − ba 2 k + 2 + ba 2 k + 2 + b 2 k +3 − b 2 a 2 k +1 + b 2 a 2 k +1
= a (a

2 k +2

−a

= ( a + b ) (a

2k +2

= ( a + b ) (a

2k +2

Tạ Dung

b ) + b( a

2 k +1

−a

2 k +1

−a

2 k +1

2 k +2

b) + b
b+b

2

−a
2

b) + b

2 k +1

( a + b) ( a

2

( a + b) ( a

a+b

2 k +1

+ b 2 k +1 )

a+b

(a

2 k +1

+ b 2 k +1 )

a+b

2 k +1

)

+ b 2 k +1 )

16
= ( a + b ) (a

= ( a + b) ( a

−a

2k +2

b+b

2 k +1

2

( a + b) ( a

− a 2 k −1b + a 2 k − 2b 2 − … + a 2b 2 k − 2 − ab 2 k −1 + b 2 k )

2k

a+b

− a 2 k +1b + a 2 k b 2 − … + a 2b 2 k − ab 2 k +1 + b 2 k + 2 )

2k +2

(13) Nhị thức Newton:
n

( a + b ) = ∑ Cnk a n−k b k, trong đó Cnk =
n

k =0

n!
.
k!( n − k ) !

Khi đó:

( a + b)
+

n

= an +

n!
n!
n!
a n−1b +
a n −2b 2 + … +
a n−k b k + …
1!( n − 1) !
2!( n − 2 ) !
k !( n − k ) !

n!
n!
a 2b n − 2 +
ab n−1 + b n
2!( n − 2 ) !
1!( n − 1) !

n 2 (n + 1) 2
(14) 1 + 2 + 3 + ….. + n =
4
3

3

3

3

Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Với n = 1 thì 1 = 1 đẳng thức đúng
Giả sử với n = k ≥ 1 ta có
k 2 ( k + 1) 2
1 + 2 + 3 + … + k =
4
3

3

3

3

Ta phải chứng minh:
1 + 2 + 3 + … + k + ( k + 1)
3

3

3

3

2

( k + 1)
=

2

(k + 2) 2
4

Thật vậy ta có:
13 + 23 + 33 + … + k 3 + (k + 1) 2 =
=

k 2 (k + 1) 2
+ (k + 1) 2
4

(k + 1) 2 ( k 2 + 4(k + 1)) ( k + 1) 2 (k + 2) 2
=
4
4

(15) 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + … + n(n + 1) =

n(n + 1)(n + 2)
3

Chứng minh
Tạ Dung

)

17
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Với n = 1 thì 1.2 = 2 đẳng thức đúng
Giả sử với n = k ≥ 1 ta có
1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + … + k ( k + 1) =

k (k + 1)(k + 2)
3

Ta phải chứng minh:
1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + … + k ( k + 1) + (k + 1)(k + 2) =

(k + 1)(k + 2)(k + 3)
3

Thật vậy, ta có:
1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + … + k ( k + 1) + ( k + 1)( k + 2)
=

k (k + 1)(k + 2)
+ (k + 1)(k + 2)
3

=

(k + 1)(k + 2)(k + 3)

3

2
2
2
2
(16) 1 + 2 + 3 + … + n =

n(n + 1)(2n + 1)
6
Chứng minh

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Với n = 1 thì 12 = 1 đẳng thức đúng
Giả sử với n = k ≥ 1 ta có
12 + 2 2 + 32 + … + k 2 =

k (k + 1)(2k + 1)
6

Ta phải chứng minh:
12 + 2 2 + 32 + … + k 2 + ( k + 1) 2 =

(k + 1)( k + 2)(2k + 3)
6

Thật vậy, ta có:
12 + 22 + 32 + … + k 2 + (k + 1) 2 =
=

( k + 1) ( 2k

2

+ k + 6(k + 1) )
6

=

k (k + 1)(2k + 1)
+ ( k + 1) 2
6

( k + 1) ( 2k

2

6

+ 7k + 6 )

=

( k + 1) ( k + 2 ) ( 2k + 3)
6

(17) ( a1 + a2 + a3 + … + an ) = a12 + a22 + … + an2 + 2a1a2 + … + 2an −1an
2

Tạ Dung

18
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
2
2
2
Với n = 2 thì (a1 + a2 ) = a1 + 2a1a2 + a2 hằng đẳng thức 1;

Giả sử với n = k ≥ 1 ta có

(a

1

+ a2 + a3 + … + ak ) = a12 + a22 + … + ak2 + 2a1a2 + … + 2ak −1ak
2

Ta phải chứng minh:

(a

1

+ a2 + a3 + … + ak +1 ) = a12 + a22 + … + ak2+1 + 2a1a2 + … + 2ak ak +1
2

Thật vậy, ta có:

(a

+ a2 + a3 + … + ak +1 )
1

2

= ( a1 + a2 + a3 + … + ak ) + 2ak +1 (a1 + a2 + a3 + … + ak ) + ak2+1
2

= a12 + a22 + … + ak2 + 2a1a2 + … + 2ak −1ak + 2ak +1 (a1 + a2 + a3 + … + ak ) + ak2+1
= a12 + a22 + … + ak2+1 + 2a1a2 + … + 2ak ak +1

Tạ Dung

19
CHƯƠNG II. VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN
Trong chương này, chúng tôi trình bày việc vận dụng hằng đẳng thức
vào giải các dạng toán như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của
biểu thức, rút gọn biểu thức và đặc biệt là chứng minh chia hết, tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng
thức.
2.1. Một số bài toán về biểu thức
2.1.1. Tính giá trị của biểu thức
Trong thực tế, học sinh thường gặp những bài toán tính giá trị của một
biểu thức rất cồng kềnh và phức tạp. Tuy nhiên, nhờ sử dụng các hằng đẳng
thức ta có thể đưa các biểu thức đó về các biểu thức đơn giản và dễ tính toán.
Để tính giá trị của biểu thức, chúng ta thường sử dụng một số hằng đẳng thức
như:

a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b )

( a + b + c)

3

= a 3 + b 3 + c 3 + 3(a + b)(b + c )(a + c )

2
a 3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c) ( a − b ) + (b − c ) 2 + (a − c) 2 

Ngoài ra, ta có thể sử dụng một số hằng đẳng thức khác hoặc đặc biệt
hóa hằng đẳng thức tuỳ theo yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 2.1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = 12 – 2 2 + 32 – 4 2 + … – 2004 2 + 20052
2
4
8
16
32
64
b) B = ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) – 2

Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b )
Giải
a) Ta có:

A = 1 + ( 32 – 22 ) + ( 52 – 42 ) + … + ( 20052 – 20042 )
2

2
Từ hằng đẳng thức a − b = ( a − b ) ( a + b ), ta suy ra

Tạ Dung

20

( k + 1)

2

− k 2 = k + ( k + 1)

Do đó
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 2004 + 2005
= ( 1 + 2002 ) 2005 : 2
= 2011015
2
4
8
16
32
64
b) Ta có B = ( 2 − 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) – 2
2
2
2
Áp dụng hằng đẳng ( a − b ) ( a + b ) = a − b ta được ( 2 − 1) ( 2 + 1) = ( 2 − 1) .

Do đó

B = ( 22 −1) ( 22 + 1) ( 24 + 1) ( 28 + 1) ( 216 + 1) ( 232 + 1) – 2 64
Sử dụng hằng đẳng trên sau năm lần, ta được:
B = ( 264 – 1) – 264

Vậy B = −1 .
Ví dụ 2.2: Cho x, y,z là các số thực khác không thoả mãn

Tính giá trị của biểu thức P =

1 1 1
+ + = 0.
x y z

xy yz xz
+
+
z 2 x2 y2

Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:

( a + b + c)

3

= a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )
Giải

Từ hằng đẳng thức ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ), ta có

3

3

1 1 1
 1 1  1 1   1 1 
1 1 1
 x + y + z ÷ = x 3 + y 3 + z 3 + 3  x + y ÷ y + z ÷ x + z ÷






Mặt khác, từ giả thiết

1 1 1
+ + = 0, ta suy ra
x y z

 1 1  1 1   1 1 
1 1 1
+ 3 + 3 = −3  + ÷ + ÷ + ÷
3
x
y
z
 x y  y z   x z 

Tạ Dung

21
⇔

1 1 1
( x + y) ( y + z) ( x + z)
+
+
=
−
3
x3 y 3 z 3
x2 y2 z 2

Áp dụng hằng đẳng thức

( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ac ) − abc ,
ta được:

1 1 1
x+ y+ z1 1 1 3
3
+ 3 + 3 = −3
+ + ÷+
=

3
x
y

z
xyz  x y z  xyz xyz
Vậy

P=

 1 1 1  3xyz
xy zy xz xyz xyz xyz
+ 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz  + + ÷ =
=3
2
z
x
y
z
x
y
 x y z  xyz

3
3
3
Ví dụ 2.3: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn abc ≠ 0, a + b + c = 3abc .

 a  b  c 
Tính giá trị của biểu thức A =  1 + ÷1 + ÷ 1 + ÷
 b  c  a 
Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
a 3 + b3 + c3 − 3abc =

1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 
2
Giải

Từ giả thiết a 3 + b 3 + c 3 = 3abc suy ra
1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  = a 3 + b3 + c 3 − 3abc = 0
2
a + b + c = 0
⇒
 a =b=c
 a + b  b + c  a + c  −c −a −b
Nếu a + b + c = 0 thì A = 
÷
÷
÷ =. . = −1
 b  c  a  b c a
Nếu a = b = c thì A = ( 1 + 1) ( 1 + 1) ( 1 + 1) = 8
Vậy A có thể nhận một trong hai giá trị là -1 và 8.

Tạ Dung

22
Ví dụ 2.4: Cho x, y, z là các số thực thoả mãn x 3 y 3 + y 3 z 3 + x 3 z 3 = 3x 2 y 2 z 2 và

x 
y 
z
xyz ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức: P =  1 + ÷1 + ÷1 + ÷
y 
z 
x

Nhận xét: Nếu đặt a = xy, b = yz, c = zx thì x 3 y 3 + y 3 z 3 + x 3 z 3 = 3x 2 y 2 z 2 trở
thành a 3 + b3 + c3 = 3abc sau đó sử dụng hằng đẳng thức:
a 3 + b3 + c3 − 3abc =

1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 
2
Giải

Đặt a = xy, b = yz, c = zx thì a 3 + b3 + c3 = 3abc
Suy ra:
1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  = a 3 + b3 + c3 − 3abc

2
= x3 y 3 + y 3 z 3 + x3 z 3 − x 2 y 2 z 2
=0
Do đó, ta có
a + b + c = 0
 a=b=c

Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì ( x + z ) y = − xz
 x + y   z + y  x + z 
P=
÷
÷
÷
 y   z  x 
( x + y ) z .( z + y ) x .( x + z ) y
=
yz
zx
xy
=

( − xy ) ( − yz ) ( − zx )
yz.zx.xy

= −1
Nếu a = b = c thì xy = yz = zx => x = y = z, suy ra P = 8
Ví dụ 2.5: Cho x, y, z là các số thực khác không thoả mãn x + y + z = 0. Tính
giá trị biểu thức:
x3 + y 3 + z 3
B=

− xyz
Tạ Dung

23
Nhận xét: Quan sát và biến đổi biểu thức sử dụng hằng đẳng thức:
a 3 + b3 + c3 − 3abc =

1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 
2

Giải
Áp dụng hằng đẳng thức :
a 3 + b3 + c3 − 3abc =

1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 
2

ta được

x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = 0
=> x 3 + y 3 + z 3 = 3 xyz

x 3 + y 3 + z 3 3xyz
⇒B=
=
= −3
− xyz
− xyz
2.1.2. Rút gọn biểu thức.
Bài toán rút gọn biểu thức thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10
trung học phổ thông. Một số bài toán thì trong biểu thức cần rút gọn đã chứa
sẵn các hằng đẳng thức. Tuy nhiên, một số bài toán khác thì hằng đẳng thức
chỉ xuất hiện sau khi qui đồng mẫu, thêm hoặc bớt, hoặc nhân với biểu thức
liên hợp. Một số hằng đẳng thức thường được sử dụng trong các bài toán rút
gọn biểu thức là:
( a + 1) 2 = a + 2 a + 1
a − b = ( a − b )( a + b )
Ngoài ra, ta có thể sử dụng một số hằng đẳng thức khác tuỳ theo độ
phức tạp của biểu thức cần rút gọn.
Một lưu ý khác khi giải bài toán rút gọn biểu thức là ta cần quan tâm
đến điều kiện xác định của biểu thức đã cho.

Tạ Dung

24
 x −2
x + 2  (1− x)
−
Ví dụ 2.6: Rút gọn biểu thức P = 
÷.
x

−
1
2
x
+
2
x
+
1



2

trong đó x là số thực dương khác 1.
Nhận xét: Trong biểu thức đã cho, ta có thể nhận ra các hằng đẳng thức sau:
a −1 =

(

)(

)

a −1

(

a +1, a + 2 a +1=

)

a +1

2

Giải
Áp dụng hằng đẳng thức: x − 1 =

(

)(

x −1

)

x +1, x + 2 x +1 =

(

ta được:

P=



=



(

x −2

(

)(

x −1
x −2

)(

) (

x +1

)

) ( x + 2) (
( x − 1) ( x + 1)

)

x −1  ( 1− x) 2
÷.
÷
÷ 2


x +1 −

2


−2 x
=
 ( x − 1) x + 1


(

=

−

2

x + 2 ÷ ( 1− x)
2 .
÷ 2
x +1 ÷


 (1− x) 2
÷.
÷ 2


)

− x ( x − 1)

(

)

x +1

Áp dụng hằng đẳng thức: x − 1 =

P=

− x

(

(

)(

x +1

)

x +1

) =−

x −1

(

x

)(

x −1

(

)

)

x + 1 ta được

(

x −1 = x 1− x

)

Ví dụ 2.7: Rút gọn biểu thức rồi so sánh giá trị của M với 1, biết :

1 
a +1
 1
M =

+
( a > 0 và a ≠ 1 )
÷:
a −1 a − 2 a +1
a− a
Nhận xét:
Tạ Dung

)

x +1

2

25
Ta sẽ áp dụng hai hằng đẳng thức
a − a = a ( a − 1) và a − 2 a + 1 =

(

)

2

a − 1 vào giải bài toán:

Giải
Ta có a − a = a ( a − 1) và a − 2 a + 1 =


1
1 ÷

M=
+
:
 a a −1
a −1÷



(

)

 1+ a 
÷:
=
 a a −1 ÷



(

Do đó M =
Vì

) (

(

)

2

a − 1 nên

a +1

(

)

a −1

2

a +1

)

a −1

2

a −1
1
=1−
.
a

a

a > 0 nên M > 1.

Ví dụ 2.8: Cho biểu thức :
1   a +1
a +2
 1
−
:
−

÷ ( a > 0; a ≠ 4 ; a ≠ 1)
÷
a   a −2
a −1 
 a −1

Q=

a) Rút gọn Q;
b) Tìm giá trị của a để Q dương.
Nhận xét: Sau khi qui đồng mẫu thức, ta có thể rút gọn biểu thức bằng cách
áp dụng hằng đẳng thức:
a−b =

(

a− b

)(

a+ b

)

Giải
a) Ta có:

(

) ÷:  (

 a − a −1
Q=
 a a −1


(

)

)(

a +1

÷
 

Từ hằng đẳng thức a − b =

a −1 =
Tạ Dung

(

)(

a −1

(

) (
( a − 2) (
a −1 −

a− b

)

)(

a +2

)

)(

)÷

a −2 

÷


a −1

)

a + b, ta có

a + 1 và a − 4 =

(

a −2

)(

a +2

)

thức trên so với những bài tập trong sách giáo khoa cũng chỉ dừng lại ở mức độđơn giản. Hơn nữa, theo hiểu biết của cá thể em thì lúc bấy giờ rất ít tài liệutham khảo trình làng cho giáo viên và học viên những giải pháp đổi khác đểứng dụng hằng đẳng thức vào giải phương trình, hệ phương trình, chứng minhbất đẳng thức. Tạ DungViệc nghiên cứu và điều tra những ứng dụng của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và mởrộng của chúng đã và đang lôi cuốn được sự chăm sóc của giáo viên toán trunghọc cơ sở và học viên yêu quý môn toán. Nhiều giáo viên đại trà phổ thông đãnghiên cứu về hằng đẳng thức và vận dụng nó trong giải toán biểu lộ qua cácsáng kiến kinh nghiệm tay nghề của họ ( xem [ 3, 4, 5 ] ). Với mong ước giúp những học viên yêu dấu môn toán, những bạn sinhviên muốn khám phá về những hằng đẳng thức và ứng dụng của nó, và hơn nữa đểbản thân em hiểu thâm thúy hơn những kỹ năng và kiến thức toán đại trà phổ thông Giao hàng cho côngviệc trong tương lai, em mạnh dạn chọn đề tài “ Hằng đẳng thức và ứngdụng trong giải toán ” cho khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục tiêu khóa luậnTrình bày những kiến thức và kỹ năng về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và một số ít hằngđẳng thức lan rộng ra, ứng dụng của chúng vào giải toán sơ cấp. Đồng thời đềxuất 1 số ít bài tập có giải thuật và không có giải thuật nhằm mục đích khắc sâu hơn kiếnthức về hằng đẳng thức và ứng dụng của chúng trong giải toán. 3. Nhiệm vụ điều tra và nghiên cứu – Nghiên cứu bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và 1 số ít hằng đẳng thứcmở rộng. – Nghiên cứu 1 số ít dạng toán về biểu thức, phép chia hết và chia códư, số chính phương, giải phương trình và hệ phương trình, những bài toán vềđẳng thức và bất đẳng thức. 4. Phương pháp điều tra và nghiên cứu • Phương pháp điều tra và nghiên cứu tự luận : Đọc và điều tra và nghiên cứu tài liệu, giáotrình, sách giáo khoa có tương quan đến hằng đẳng thức, cách giải những bài toánthông qua việc sử dụng hằng đẳng thức, hệ thống hóa những kiến thức và kỹ năng. • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm tay nghề : Qua việc điều tra và nghiên cứu tham khảotài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm tay nghề để vận dụng vào việc nghiên cứu và điều tra. • Phương pháp lấy quan điểm : Lấy quan điểm của giảng viên trực tiếp hướngdẫn, những giảng viên khác để triển khai xong về mặt nội dung và hình thức của khóaluận. 5. Đối tượng và khoanh vùng phạm vi nghiên cứuTạ Dung • Đối tượng : Các hằng đẳng thức đáng nhớ và lan rộng ra. • Phạm vi : Các dạng toán về hằng đẳng thức và ứng dụng của chúngtrong giải toán sơ cấp. 6. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễnKhoá luận đã mạng lưới hệ thống lại một cách cơ bản những khiến thức về hằngđẳng thức đồng đưa ra 1 số ít dạng toán cơ bản tương quan đến vận dụng hằngđẳng. Khoá luận hoàn toàn có thể dùng làm tài liệu tìm hiểu thêm cho sinh viên ngành toán, giáo viên toán trung học cơ sở và học viên yêu dấu môn toán. 7. Bố cục của khóa luậnNgoài phần mở màn, Tóm lại, tài liệu tìm hiểu thêm, khóa luận dự kiếnđược chia thành ba chương. Chương 1 : Các hằng đẳng thức. Chương 2 : Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán. Chương 3 : Bài tập. Tạ DungCHƯƠNG I. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨCTrong chương này, chúng tôi trình diễn những kỹ năng và kiến thức về bảy hằng đẳngthức đáng nhớ và một số ít hằng đẳng thức lan rộng ra kèm theo chứng tỏ. Bêncạnh đó, chúng tôi cũng ra mắt thêm về mối liên hệ giữa tam giác Pascalvà những hằng đẳng thức. 1.1. Tam giác Pascal và hằng đẳng thứcPascal viết về tam giác số trải qua một quyển sách có tên là “ Luận lítrong tam giác số học ”. Nhưng Pascal không phải là người tiên phong nghiêncứu tam giác này mặc dầu công bố khu công trình điều tra và nghiên cứu của ông gây ngạcnhiên cho mọi người thời ấy. Trước đây vào thế kỷ thứ 10, một nhà toán họcngười Ấn Độ nhận thấy những số lượng này có ích cho việc đại diện thay mặt cho số kếthợp những âm thanh ngắn và dài trong thơmet. Các tam giác này cũng xuất hiệntrong những bài viết của Omar Khayyam, nhà thiên văn học ở thế kỷ 17, nhàthơ, nhà triết học và là nhà toán học văn minh ở Iran ( xem [ 6 ] ). Tam giác số Pascal được thiết lập như sau : + ) Dòng thứ nhất gồm 1 số ít 1 + ) Dòng thứ hai gồm hai số 1 + ) Với N > 2, dòng thứ N gồm N số, trong đó số thứ nhất và số thứ N bằng 1, còn những số khác bằng tổng của hai số đứng kề nhau ở dòng thứ N − 1 từ tráiqua phải. Tạ DungChúng ta dùng tam giác Pascal để khai triển những biếu thức ( a + b ) n như sau : ( a + b ) 0 = 1 ( a + b ) 1 = a + b10 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 210 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b3 ( a + b ) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab3 + b 4 ( a + b ) 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b3 + 5 ab 4 + b5Chúng ta dùng tam giác Pascal để khai triển những biếu thức ( a − b ) n như sau : ( a − b ) 0 = 110 ( a − b ) 1 = a − b ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 210 ( a − b ) 3 = a3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b3 ( a − b ) 4 = a 4 − 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 − 4 ab3 + b 4 ( a − b ) 5 = a 5 − 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 − 10 a 2 b3 + 5 ab 4 − b5Chúng ta đánh số mỗi hàng của tam giác Pascal theo thứ tự khởi đầu làhàng số 0, tiếp đến là hàng số 1, hàng số 2, … … Còn trên mỗi hàng tất cả chúng ta sắp xếp thứ tự những số lượng mở màn là con sốthứ 0, tiếp đến là số lượng thứ 1, rồi số lượng thứ 2, … … … … Gọi số lượng thứ k ở hàng thứ n là Cnk. Từ đó suy ra công thức để xây ( 1 < k < n ) dựng tam giác Pascal là : Cnk − − 11 + Cnk − 1 = Cnkhàng 0 hàng 1 hàng 2 hàng 3 hàng 4T ạ DungC41C42hàng 5C5210 thứthứthứthứthứthứCông thức tổng quát của Cnk là : Cn = Ví dụ : C5 = n ! k ! ( n − k ) ! 5 ! 1.2.3. 4.5 = 102 ! ( 5 − 2 ) ! 1.2.1. 2.3 Có thể thấy rằng tam giác Pascal có tương quan mật thiết đến những hằngđẳng thức đơn cử là : 1 ) ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 22 ) ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 23 ) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) 4 ) ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b35 ) ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b36 ) a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) 7 ) a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) Trong những hằng đẳng thức 1, 2, 4, 5, ta hoàn toàn có thể thấy : + ) Ở những phép cộng trong dấu ngoặc thì phá ra trọn vẹn là thế + ) Còn nếu là dấu trừ thì dấu cộng tiên phong rồi đến dấu trừ cứ thế xen kẽ nhau + ) Các biến : lũy thừa của a giảm dần, lũy thừa của b tăng dần. Từ tam giác Pascal bằng giải pháp qui nạp ta chứng tỏ đượcđịnh lí về nhị thức Newton. Định lí về nhị thức Newton ( a + b ) n = ∑ Cnk a n − k b kk = 0 + ) Số những số hạng của công thức là n + 1T ạ Dung + ) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhịthức là : k + ( n − k ) = n + ) Số hạng tổng quát của nhị thức là Tk + 1 = Cnk a n − k b k ( Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển ( a + b ) n ) + ) Các thông số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau1. 2. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. + ) Bình phương của một tổng : Bình phương một tổng bằng bình phương sốthứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng số thứ hai bìnhphương : ( a + b ) = a 2 + 2 ab + b 2 + ) Bình phương của một hiệu : Bình phương một hiệu bằng bình phương sốthứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng số thứ hai bìnhphương : ( a − b ) = a 2 − 2 ab + b 2 + ) Hiệu hai bình phương : Hiệu hai bình phương bằng tổng của số thứ nhất vàsố thứ hai nhân với hiệu của số thứ nhất và số thứ hai : a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b ) + ) Lập phương của một tổng : Lập phương của một tổng bằng lập phương củasố thứ nhất, cộng ba lần số thứ nhất bình phương nhân với số thứ hai, cộng balần số thứ nhất nhân số thứ hai bình phương, cộng số thứ hai lập phương : ( a + b ) = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b3 + ) Lập phương của một hiệu : Lập phương của một hiệu bằng lập phương củasố thứ nhất, trừ ba lần số thứ nhất bình phương nhân với số thứ hai, cộng balần số thứ nhất nhân số thứ hai bình phương, trừ số thứ hai lập phương : ( a − b ) Tạ Dung = a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3 + ) Tổng hai lập phương : Tổng hai lập phương bằng tổng của số thứ nhất và sốthứ hai, nhân với bình phương số thứ nhất trừ tích số thứ nhất và số thứhai cộng bình phương số thứ hai : a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) + ) Hiệu hai lập phương : Hiệu hai lập phương bằng hiệu số thứ nhất và số thứhai, nhân với bình phương số thứ nhất cộng tích số thứ nhất và số thứhai cộng bình phương số thứ hai : a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) Chú ý : + ) Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhaungược lại hai số đối nhau, bằng nhau thì có bình phương bằng nhau : ( a − b ) = ( b − a ) + ) Ngoài ra ta hoàn toàn có thể viết : ( a + b ) = a 3 + b3 + 3 ab ( a + b ) ( a − b ) 3 = a 3 − b3 − 3 ab ( a − b ) Hệ quả : 1 ) Từ hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2 ab + b 2. Đặt a = x, b = y ta được : x + 2 xy + y = x + yvới x, y là những số thực không âm. 2 ) Từ hằng đẳng thức ( a − b ) = a 2 − 2 ab + b 2. Đặt a = x, b = 1 ta được : x − 2 x + 1 = x − 1 với x là số thực không âm. 3 ) Từ hằng đẳng thức : a − b = ( a + b ) ( a − b ). Đặt a = x, b = y ta được : x − y = ( x ) − ( y ) = ( x − y ) ( x + yvới x, y là những số thực khôngâm. 4 ) Từ hằng đẳng thức : a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ). Đặt a = x, b = y ta được : Tạ Dung10 ( x ) + ( y ) = ( x + y ) ( x − xy + y = x x + y y với x, y là những sốthực không âm. 5 ) Từ hằng đẳng thức : a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ). Đặt a = 1, b = y ta được : 1 − ( ) = ( 1 − y ) ( 1 + y + y = 1 − y y với ylà số thực không âm. 6 ) Với a, b là những số thực không âm thìa b + b a = a 2 b + b 2 a = aba + b7 ) Với a là số thực không âm thìa + a = a 2 + a = a ( a + 1 ) 8 ) Từ hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2 ab + b 2 ta thêm vào hai vế − 2 ab tađược : a 2 + b 2 + 2 ab − 2 ab = ( a + b ) 2 − 2 ab = a 2 + b 2 hay a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 ab9 ) Từ hai hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2 ab + b 2 và ( a − b ) = a 2 − 2 ab + b 2, trừ vế với vế ta được : ( a + b ) 2 − ( a − b ) = 4 ab hay ( a + b ) 2 = ( a − b ) + 4 ab10 ) Từ hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2 ab + b 2, ta thêm − ( a + b ) vào hai vếta được : ( a + b ) − ( a + b ) = 2 ab11 ) Từ hằng đẳng thức ( a − b ) = a 2 − 2 ab + b 2 ta thêm − ( a + b ) vào hai vếta được : ( a − b ) − ( a + b ) = − 2 ab12 ) Từ hằng đẳng thức : ( a + b ) = a 3 + b3 + 3 ab ( a + b ) ta thêm − ( a + b ) vàohai vế ta được : ( a + b ) − ( a + b ) = 3 ab ( a + b ) 13 ) Từ hằng đẳng thức : ( a − b ) = a 3 − b 3 + 3 ab ( a − b ) ta thêm − ( a − b ) vàohai vế ta được : ( a − b ) − ( a − b ) = 3 ab ( a − b ) 1.3. Một số hằng đẳng thức lan rộng ra ( 1 ) ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bcTạ Dung11Chứng minh : Áp dụng hằng đẳng thức : ( a + b ) = a + 2 ab + b ta được : ( a + b + c ) = ( ( a + b ) + c ) 2 = ( a + b ) 2 + 2 ( a + b ) c + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc ( 2 ) ( a + b − c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab − 2 bc − 2 acChứng minhÁp dụng hằng đẳng thức : ( a + b ) = a + 2 ab + b và ( a − b ) = a − 2 ab + bta được : ( a + b − c ) = ( ( a + b ) − c ) 2 = ( a + b ) 2 − 2 ( a + b ) c + c 2 = a 2 + b2 + c 2 + 2 ab − 2 bc − 2 ac ( 3 ) ( a − b − c ) = a 2 + b 2 + c 2 − 2 ab − 2 ac + 2 bcChứng minhÁp dụng hằng đẳng thức : ( a − b ) = a − 2 ab + b ta được : ( a − b − c ) = ( ( a − b ) − c ) 2 = ( a − b ) 2 − 2 ( a − b ) c + c 2 = a 2 + b2 + c 2 − 2 ab − 2 ac + 2 bc ( 4 ) ( a + b + c ) = a + b + c + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) Chứng minhÁp dụng hằng đẳng thức : ( a + b ) = a + b + 3 ab ( a + b ) ta được : ( a + b + c ) 3 = ( ( a + b ) + c ) 3 = ( a + b ) 3 + c 3 + 3 ( a + b ) c ( a + b + c ) = a 3 + b3 + 3 ab ( a + b ) + c 3 + 3 ( a + b ) c ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( ab + c ( a + b + c ) ) Tạ Dung12 = a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) ( a ( b + c ) + c ( b + c ) ) = a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) Từ : ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) Suy ra : a 3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) − 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) ( 5 ) a + b + c − 3 abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ac ) Chứng minhTừ ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ), ta cóa3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) − 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Do đóa 3 + b 3 + c 3 − 3 abc = ( a + b + c ) 3 − 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) − 3 abc = ( a + b + c ) − 3 abc − 3 ab ( a + b ) − 3 ( a + b ) c ( a + b + c ) = ( a + b + c ) 3 − 3 ab ( a + b + c ) − 3 ( ac + bc ) ( a + b + c ) = ( a + b + c ) 3 − 3 ( a + b + c ) ( ab + ac + bc ) = ( a + b + c ) ( ( a + b + c ) 2 − 3 ( ab + bc + ac ) ) = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc ) = ( a + b + c )   ( a − b ) + ( b − c ) + ( a − c )   ( 6 ) ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ab ( a + b ) + 3 c ( a + b ) ( a + b + c ) Chứng minhÁp dụng hằng đẳng thức : ( a + b ) = a 3 + b3 + 3 ab ( a + b ), ta được : ( a + b + c ) = ( ( a + b ) + c ) = ( a + b ) + c 3 + 3 c ( a + b ) ( a + b + c ) = a 3 + b3 + 3 ab ( a + b ) + 3 c ( a + b ) ( a + b + c ) Tạ Dung13 ( 7 ) ( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) − 8 abc = a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) Chứng minhSử dụng hằng đẳng thức : ( a − b ) = a 2 − 2 ab + b 2, ta có ( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) − 8 abc = ( ac + bc + b + ab ) ( a + c ) − 8 abc = a 2 c + ac 2 + abc + bc 2 + b 2 a + b 2 c + a 2 b + abc − 8 abc = ( a 2 c − 2 abc + b 2 c ) + ( ba 2 − 2 abc + bc 2 ) + ( b 2 a − 2 abc + ac 2 ) = c ( a − b ) 2 + b ( c − a ) 2 + a ( b − c ) 2 ( 8 ) ( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ac ) − abcChứng minh ( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) = ( a + b ) ( a ( b + c ) + c ( b + c ) ) = ab ( a + b ) + c ( a + b + c ) ( a + b ) = ab ( a + b + c ) + ( ac + bc ) ( a + b + c ) − abc = ( a + b + c ) ( ab + ac + bc ) − abc ( 9 ) ab + bc + ca − ba − cb − ac ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) Chứng minhab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − cb 2 − ac 2 ( ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − cb 2 − ac 2 ) = 3 ( ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − cb 2 − ac 2 ) = a − a + b − b + c − c + 3 ( a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b3 ) + ( b3 − 3 b 2 c + 3 bc 2 − c 3 ) + ( c 3 − 3 c 2 a + 3 ca 2 − a 3 ) Áp dụng hằng đẳng thức : ( a − b ) = a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3 ta đượcab + bc + ca − ba − cb − ac ( a − b ) ( 10 ) ab + bc + ca − ba − cb − ac = Tạ Dung + ( b − c ) + ( c − a ) ( a + b + c )   ( a − b ) 3 + ( b − c ) 3 + ( c − a ) 3   14C hứng minhab3 + bc3 + ca 3 − ba 3 − cb3 − ac 3 = a 2 b 2 − a 2 b 2 + abc 2 − abc 2 + ab 2 c − ab 2 c + a 2 c 2 − a 2 c 2 + b 2 c 2 − b 2 c 2 + a 2 bc − a 2 bc + ab 3 + bc 3 + ca 3 − ba 3 − cb3 − ac 3 = ( a 2 b 2 + abc 2 + ca 3 − ba 3 − ab 2 c − a 2 c 2 ) + ( ab 3 + b 2 c 2 + a 2 bc − a 2 b 2 − b 3 c − abc 2 ) + ( cab 2 + bc 3 + c 2 a 2 − a 2 bc − c 2 b 2 − ac 3 ) = a ( ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2 c − ac 2 ) + b ( ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2 c − ac 2 ) + c ( ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2 c − ac 2 ) = ( a + b + c ) ( ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2 c − ac 2 ) Từ đẳng thức ab + bc + ca − ba − cb − ac ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ta suy raab + bc + ca − ba − cb − ac ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) Do đóab3 + bc3 + ca 3 − ba 3 − cb3 − ac 3 = ( a + b + c ) ( ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2 c − ac 2 ) ( a + b + c )   ( a − b ) 3 + ( b − c ) 3 + ( c − a ) 3   n − 1 n − 2 n − 3 22 n − 3 n − 2 n − 1 ( 11 ) a − b = ( a − b ) ( a + a b + a b + ... + a b + ab + b ) Chứng minhTa chứng tỏ bằng giải pháp qui nạp. Với n = 2 ta có a − b = ( a − b ) ( a + b ) đây là hằng đẳng thức thứ 3 ; Với n = 3 ta có a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) đây là hằng đẳng thức thứ 7, Giả sử với n = k ≥ 1 ta có : a k − b k = ( a − b ) ( a k − 1 + a k − 2 b + a k − 3 b 2 + ... + a 2 b k − 3 + ab k − 2 + b k − 1 ) Ta phải chứng tỏ : a k + 1 − b k + 1 = ( a − b ) ( a k + a k − 1 b + a k − 2 b 2 + ... + a 2 b k − 2 + ab k − 1 + b k ) Tạ Dung15Thật vậy, ta có : a k + 1 − b k + 1 = a k + 1 − ba k + ba k − b k + 1 b ( a k − b k ) = a ( a − b ) + ( a − b ) a − bb ( a k − b k ) = ( a − b ) ( a + a − b  k b ( a − b ) ( a k − 1 + a k − 2 b + a k − 3 b 2 + ... + a 2 b k − 3 + ab k − 2 + b k − 1 ) = ( a − b )  a + a − b = ( a − b ) ( a k + b ( a k − 1 + a k − 2 b + a k − 3 b 2 + ... + a 2 b k − 3 + ab k − 2 + b k − 1 ) ) k − 1 k − 2 22 k − 2 k − 1 = ( a − b ) ( a + a b + a b + ... + a b + ab + b ) ( 12 ) Với n lẻ thìa n + b n = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + a n − 3 b 2 − ... + a 2 b n − 3 − ab n − 2 + b n − 1 ) Chứng minhTa chứng tỏ bằng chiêu thức qui nạp. Với n = 3 ta có a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) đây là hằng đẳng thức thứ 6, Giả sử với n = 2 k + 1 ≥ 3 ta có : a 2 k + 1 + b 2 k + 1 = ( a + b ) ( a 2 k − a 2 k − 1 b + a 2 k − 2 b 2 − ... + a 2 b 2 k − 2 − ab 2 k − 1 + b 2 k ) Ta phải chứng tỏ : a 2 k + 3 + b 2 k + 3 = ( a + b ) ( a 2 k + 2 − a 2 k + 1 b + a 2 k b 2 − ... + a 2 b 2 k − ab 2 k + 1 + b 2 k + 2 ) Thật vậy, ta có : a 2 k + 3 + b 2 k + 3 = a 2 k + 3 − ba 2 k + 2 + ba 2 k + 2 + b 2 k + 3 − b 2 a 2 k + 1 + b 2 a 2 k + 1 = a ( a2 k + 2 − a = ( a + b ) ( a2k + 2 = ( a + b ) ( a2k + 2T ạ Dungb ) + b ( a2 k + 1 − a2 k + 1 − a2 k + 12 k + 2 b ) + bb + b − ab ) + b2 k + 1 ( a + b ) ( a ( a + b ) ( aa + b2 k + 1 + b 2 k + 1 ) a + b ( a2 k + 1 + b 2 k + 1 ) a + b2 k + 1 + b 2 k + 1 ) 16 = ( a + b ) ( a = ( a + b ) ( a − a2k + 2 b + b2 k + 1 ( a + b ) ( a − a 2 k − 1 b + a 2 k − 2 b 2 − ... + a 2 b 2 k − 2 − ab 2 k − 1 + b 2 k ) 2 ka + b − a 2 k + 1 b + a 2 k b 2 − ... + a 2 b 2 k − ab 2 k + 1 + b 2 k + 2 ) 2 k + 2 ( 13 ) Nhị thức Newton : ( a + b ) = ∑ Cnk a n − k b k, trong đó Cnk = k = 0 n ! k ! ( n − k ) ! Khi đó : ( a + b ) = an + n ! n ! n ! a n − 1 b + a n − 2 b 2 + ... + a n − k b k + ... 1 ! ( n − 1 ) ! 2 ! ( n − 2 ) ! k ! ( n − k ) ! n ! n ! a 2 b n − 2 + ab n − 1 + b n2 ! ( n − 2 ) ! 1 ! ( n − 1 ) ! n 2 ( n + 1 ) 2 ( 14 ) 1 + 2 + 3 + ..... + n = Chứng minhTa chứng tỏ bằng chiêu thức qui nạp. Với n = 1 thì 1 = 1 đẳng thức đúngGiả sử với n = k ≥ 1 ta cók 2 ( k + 1 ) 21 + 2 + 3 + ... + k = Ta phải chứng tỏ : 1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1 ) ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2T hật vậy ta có : 13 + 23 + 33 + ... + k 3 + ( k + 1 ) 2 = k 2 ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) 2 ( k + 1 ) 2 ( k 2 + 4 ( k + 1 ) ) ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 ( 15 ) 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) Chứng minhTạ Dung17Ta chứng tỏ bằng giải pháp qui nạp. Với n = 1 thì 1.2 = 2 đẳng thức đúngGiả sử với n = k ≥ 1 ta có1. 2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + k ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) ( k + 2 ) Ta phải chứng tỏ : 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + k ( k + 1 ) + ( k + 1 ) ( k + 2 ) = ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) Thật vậy, ta có : 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + k ( k + 1 ) + ( k + 1 ) ( k + 2 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) + ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( 16 ) 1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) Chứng minhTa chứng tỏ bằng chiêu thức qui nạp. Với n = 1 thì 12 = 1 đẳng thức đúngGiả sử với n = k ≥ 1 ta có12 + 2 2 + 32 + ... + k 2 = k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) Ta phải chứng tỏ : 12 + 2 2 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1 ) 2 = ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) Thật vậy, ta có : 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1 ) 2 = ( k + 1 ) ( 2 k + k + 6 ( k + 1 ) ) k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) + ( k + 1 ) 2 ( k + 1 ) ( 2 k + 7 k + 6 ) ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) ( 17 ) ( a1 + a2 + a3 + ... + an ) = a12 + a22 + ... + an2 + 2 a1a2 + ... + 2 an − 1 anTạ Dung18Chứng minhTa chứng tỏ bằng chiêu thức qui nạp. Với n = 2 thì ( a1 + a2 ) = a1 + 2 a1a2 + a2 hằng đẳng thức 1 ; Giả sử với n = k ≥ 1 ta có ( a + a2 + a3 + ... + ak ) = a12 + a22 + ... + ak2 + 2 a1a2 + ... + 2 ak − 1 akTa phải chứng tỏ : ( a + a2 + a3 + ... + ak + 1 ) = a12 + a22 + ... + ak2 + 1 + 2 a1a2 + ... + 2 ak ak + 1T hật vậy, ta có : ( a + a2 + a3 + ... + ak + 1 ) = ( a1 + a2 + a3 + ... + ak ) + 2 ak + 1 ( a1 + a2 + a3 + ... + ak ) + ak2 + 1 = a12 + a22 + ... + ak2 + 2 a1a2 + ... + 2 ak − 1 ak + 2 ak + 1 ( a1 + a2 + a3 + ... + ak ) + ak2 + 1 = a12 + a22 + ... + ak2 + 1 + 2 a1a2 + ... + 2 ak ak + 1T ạ Dung19CHƯƠNG II. VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁNTrong chương này, chúng tôi trình diễn việc vận dụng hằng đẳng thứcvào giải những dạng toán như : Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị củabiểu thức, rút gọn biểu thức và đặc biệt quan trọng là chứng tỏ chia hết, tìm giá trịlớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, hệ phương trình, chứng tỏ bất đẳngthức. 2.1. Một số bài toán về biểu thức2. 1.1. Tính giá trị của biểu thứcTrong trong thực tiễn, học viên thường gặp những bài toán tính giá trị của mộtbiểu thức rất cồng kềnh và phức tạp. Tuy nhiên, nhờ sử dụng những hằng đẳngthức ta hoàn toàn có thể đưa những biểu thức đó về những biểu thức đơn thuần và dễ tính toán. Để tính giá trị của biểu thức, tất cả chúng ta thường sử dụng 1 số ít hằng đẳng thứcnhư : a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b ) ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) a 3 + b3 + c3 − 3 abc = ( a + b + c )   ( a − b ) + ( b − c ) 2 + ( a − c ) 2   Ngoài ra, ta hoàn toàn có thể sử dụng 1 số ít hằng đẳng thức khác hoặc đặc biệthóa hằng đẳng thức tuỳ theo nhu yếu của bài toán. Ví dụ 2.1 : Tính giá trị của những biểu thức sau : a ) A = 12 – 2 2 + 32 – 4 2 + … – 2004 2 + 20052163264 b ) B = ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) – 2N hận xét : Quan sát và biến hóa bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức : a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b ) Giảia ) Ta có : A = 1 + ( 32 – 22 ) + ( 52 – 42 ) + … + ( 20052 – 20042 ) Từ hằng đẳng thức a − b = ( a − b ) ( a + b ), ta suy raTạ Dung20 ( k + 1 ) − k 2 = k + ( k + 1 ) Do đóA = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005 = ( 1 + 2002 ) 2005 : 2 = 2011015163264 b ) Ta có B = ( 2 − 1 ) ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) – 2 Áp dụng hằng đẳng ( a − b ) ( a + b ) = a − b ta được ( 2 − 1 ) ( 2 + 1 ) = ( 2 − 1 ). Do đóB = ( 22 − 1 ) ( 22 + 1 ) ( 24 + 1 ) ( 28 + 1 ) ( 216 + 1 ) ( 232 + 1 ) – 2 64S ử dụng hằng đẳng trên sau năm lần, ta được : B = ( 264 – 1 ) – 264V ậy B = − 1. Ví dụ 2.2 : Cho x, y, z là những số thực khác không thoả mãnTính giá trị của biểu thức P. = 1 1 1 + + = 0. x y zxy yz xzz 2 x2 y2Nhận xét : Quan sát và biến hóa bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức : ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) GiảiTừ hằng đẳng thức ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ), ta có  1 1 1   1 1   1 1   1 1  1 1 1  x + y + z ÷ = x 3 + y 3 + z 3 + 3  x + y ÷  y + z ÷  x + z ÷     Mặt khác, từ giả thiết1 1 1 + + = 0, ta suy rax y z  1 1   1 1   1 1  1 1 1 + 3 + 3 = − 3  + ÷  + ÷  + ÷  x y   y z   x z  Tạ Dung211 1 1 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) x3 y 3 z 3x2 y2 z 2 Áp dụng hằng đẳng thức ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ac ) − abc, ta được : 1 1 1 x + y + z  1 1 1  3 + 3 + 3 = − 3 + + ÷ + xyz  x y z  xyz xyzVậyP =  1 1 1  3 xyzxy zy xz xyz xyz xyz + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz  + + ÷ = = 3  x y z  xyzVí dụ 2.3 : Cho a, b, c là những số thực thoả mãn abc ≠ 0, a + b + c = 3 abc.  a   b   c  Tính giá trị của biểu thức A =  1 + ÷  1 + ÷  1 + ÷  b   c   a  Nhận xét : Quan sát và biến hóa bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức : a 3 + b3 + c3 − 3 abc = ( a + b + c )   ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )   GiảiTừ giả thiết a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc suy ra ( a + b + c )   ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )   = a 3 + b3 + c 3 − 3 abc = 0  a + b + c = 0 ⇒   a = b = c  a + b   b + c   a + c  − c − a − bNếu a + b + c = 0 thì A =  ÷  ÷  ÷ =. . = − 1  b   c   a  b c aNếu a = b = c thì A = ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 8V ậy A hoàn toàn có thể nhận một trong hai giá trị là - 1 và 8. Tạ Dung22Ví dụ 2.4 : Cho x, y, z là những số thực thoả mãn x 3 y 3 + y 3 z 3 + x 3 z 3 = 3 x 2 y 2 z 2 vàx   y   z  xyz ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức : P. =  1 + ÷  1 + ÷  1 + ÷ y   z   x  Nhận xét : Nếu đặt a = xy, b = yz, c = zx thì x 3 y 3 + y 3 z 3 + x 3 z 3 = 3 x 2 y 2 z 2 trởthành a 3 + b3 + c3 = 3 abc sau đó sử dụng hằng đẳng thức : a 3 + b3 + c3 − 3 abc = ( a + b + c )   ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )   GiảiĐặt a = xy, b = yz, c = zx thì a 3 + b3 + c3 = 3 abcSuy ra : ( a + b + c )   ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )   = a 3 + b3 + c3 − 3 abc = x3 y 3 + y 3 z 3 + x3 z 3 − x 2 y 2 z 2 = 0D o đó, ta có  a + b + c = 0  a = b = cNếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì ( x + z ) y = − xz  x + y   z + y   x + z  P =  ÷  ÷   y   z   x  ( x + y ) z. ( z + y ) x. ( x + z ) yyzzxxy ( − xy ) ( − yz ) ( − zx ) yz.zx.xy = − 1N ếu a = b = c thì xy = yz = zx => x = y = z, suy ra P = 8V í dụ 2.5 : Cho x, y, z là những số thực khác không thoả mãn x + y + z = 0. Tínhgiá trị biểu thức : x3 + y 3 + z 3B = − xyzTạ Dung23Nhận xét : Quan sát và đổi khác biểu thức sử dụng hằng đẳng thức : a 3 + b3 + c3 − 3 abc = ( a + b + c )   ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )   GiảiÁp dụng hằng đẳng thức : a 3 + b3 + c3 − 3 abc = ( a + b + c )   ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )   ta đượcx 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = 0 => x 3 + y 3 + z 3 = 3 xyzx 3 + y 3 + z 3 3 xyz ⇒ B = = − 3 − xyz − xyz2. 1.2. Rút gọn biểu thức. Bài toán rút gọn biểu thức thường Open trong những đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông. Một số bài toán thì trong biểu thức cần rút gọn đã chứasẵn những hằng đẳng thức. Tuy nhiên, một số ít bài toán khác thì hằng đẳng thứcchỉ Open sau khi qui đồng mẫu, thêm hoặc bớt, hoặc nhân với biểu thứcliên hợp. Một số hằng đẳng thức thường được sử dụng trong những bài toán rútgọn biểu thức là : ( a + 1 ) 2 = a + 2 a + 1 a − b = ( a − b ) ( a + b ) Ngoài ra, ta hoàn toàn có thể sử dụng 1 số ít hằng đẳng thức khác tuỳ theo độphức tạp của biểu thức cần rút gọn. Một chú ý quan tâm khác khi giải bài toán rút gọn biểu thức là ta cần quan tâmđến điều kiện kèm theo xác lập của biểu thức đã cho. Tạ Dung24  x − 2 x + 2  ( 1 − x ) Ví dụ 2.6 : Rút gọn biểu thức P =  ÷. trong đó x là số thực dương khác 1. Nhận xét : Trong biểu thức đã cho, ta hoàn toàn có thể nhận ra những hằng đẳng thức sau : a − 1 = ) ( a − 1 a + 1, a + 2 a + 1 = a + 1G iảiÁp dụng hằng đẳng thức : x − 1 = ) ( x − 1 x + 1, x + 2 x + 1 = ta được : P. =    =    x − 2 ) ( x − 1 x − 2 ) ( ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( ( x − 1 ) ( x + 1 ) x − 1  ( 1 − x ) 2 ÷. ÷ 2 x + 1 − − 2 x =   ( x − 1 ) x + 1 x + 2 ÷ ( 1 − x ) 2. ÷ 2 x + 1 ÷  ( 1 − x ) 2 ÷. ÷ 2 − x ( x − 1 ) x + 1 Áp dụng hằng đẳng thức : x − 1 = P. = − x ) ( x + 1 x + 1 ) = − x − 1 ) ( x − 1 x + 1 ta đượcx − 1 = x 1 − xVí dụ 2.7 : Rút gọn biểu thức rồi so sánh giá trị của M với 1, biết : 1  a + 1  1M =  ( a > 0 và a ≠ 1 ) ÷ : a − 1  a − 2 a + 1  a − aNhận xét : Tạ Dungx + 125T a sẽ vận dụng hai hằng đẳng thứca − a = a ( a − 1 ) và a − 2 a + 1 = a − 1 vào giải bài toán : GiảiTa có a − a = a ( a − 1 ) và a − 2 a + 1 = 1  ÷ M =  a a − 1 a − 1 ÷  1 + a  ÷ : =   a a − 1 ÷ Do đó M = Vì ) ( a − 1 nêna + 1 a − 1 a + 1 a − 1 a − 1 = 1 − a > 0 nên M > 1. Ví dụ 2.8 : Cho biểu thức : 1   a + 1 a + 2   1 ÷ ( a > 0 ; a ≠ 4 ; a ≠ 1 ) a   a − 2 a − 1   a − 1Q =  a ) Rút gọn Q. ; b ) Tìm giá trị của a để Q dương. Nhận xét : Sau khi qui đồng mẫu thức, ta hoàn toàn có thể rút gọn biểu thức bằng cácháp dụng hằng đẳng thức : a − b = a − b ) ( a + bGiảia ) Ta có 🙂  ÷ :   (  a − a − 1Q =   a a − 1 ) ( a + 1 ÷    Từ hằng đẳng thức a − b = a − 1 = Tạ Dung ) ( a − 1 ) ( ( a − 2 ) ( a − 1 − a − b ) ( a + 2 ) ( ) ÷ a − 2  a − 1 a + b, ta cóa + 1 và a − 4 = a − 2 ) ( a + 2

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay