Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay

Ứng dụng tích phân trong hình học – Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay

Ứng dụng tích phân trong hình học – Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

a ) Thể tích vật thểGọi B là phần vật thể số lượng giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại những điểm a và b ; S ( x ) là diện tích quy hoạnh thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ; a ≤ x ≤ b. Giả sử S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a ; b ] .
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác lập :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
b ) Thể tích khối tròn xoayThể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường y = f ( x ), trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b quanh trục Ox :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Chú ý:

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường x = g ( y ), trục hoành và hai đường thẳng y = c ; y = d quanh trục Oy :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường y = f ( x ) ; y = g ( x ) và hai đường thẳng x = a ; x = b quanh trục Ox :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Chú ý: Tính thể tích khối tròn xoay:

Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0; x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x); x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12 và trục hoành quanh trục Ox là:

A. 48 π. B. 36 π. C. 24 π. D. 6 π .

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Quảng cáo

Ví dụ 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos2x; x = 0; x = π/4 và Ox. Tính thể tích khối tròn xoay quay xung quanh trục Ox.

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Ví dụ 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Ví dụ 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 + 1; y = 0; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Ví dụ 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = -x2 + x; y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Ví dụ 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Ví dụ 7. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tanx; y = 0; x = 0; x = π/4 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Quảng cáo

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x√lnx; y = 0; x = e quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2×2; y2 = 4x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Câu 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments