Phương pháp so sánh 2 phân số – Bồi dưỡng Toán 5 – Trường Quốc Học

Dạng bài tập so sánh phân số là dạng toán thường thấy trong các bài toán nâng cao, xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi toán 5.

Để so sánh được 2 phân số bất kể những em cần phải ghi nhớ những kiến thức và kỹ năng dưới đây :

Lý thuyết so sánh hai phân số :

– Có cùng mẫu số : ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn .– Không cùng mẫu số : thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của những phân số đã quy đồng được .

Các chiêu thức so sánh 2 phân số :

– Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

– So sánh với 1 .

– So sánh “ phần bù ” với 1 của mỗi phân số :

+ Phần bù với đơn vị chức năng của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó .+ Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ng ­ ược lại .USD \ displaystyle 1 – \ frac { a } { b } < 1 - \ frac { c } { d } USD thì USD \ displaystyle \ frac { a } { b } > \ frac { c } { d } USDVí dụ : So sánh những phân số sau bằng cách thuận tiện nhất .USD \ displaystyle \ frac { { 2000 } } { { 2001 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 2001 } } { { 2002 } } USD

Bư­ớc 1: (Tìm phần bù)

Ta có :USD \ displaystyle 1 – \ frac { { 2000 } } { { 2001 } } = \ frac { 1 } { { 2001 } } USDUSD \ displaystyle 1 – \ frac { { 2001 } } { { 2002 } } = \ frac { 1 } { { 2002 } } USD

B­ước 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh)

Vì USD \ displaystyle \ frac { 1 } { { 2001 } } > \ frac { 1 } { { 2002 } } USD nên USD \ displaystyle \ frac { { 2000 } } { { 2001 } } < \ frac { { 2001 } } { { 2002 } } USD* Chú ý :Đặt A = Mẫu 1 – tử 1B = mẫu 2 – tử 2Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trường hợp A ≠ B ta hoàn toàn có thể sử dụng đặc thù cơ bản của phân số để đổi khác đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau :Ví dụ : USD \ displaystyle \ frac { { 2000 } } { { 2001 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 2001 } } { { 2003 } } USD+ ) Ta có : USD \ displaystyle \ frac { { 2000 } } { { 2001 } } = \ frac { { 2000 \ times 2 } } { { 2001 \ times 2 } } = \ frac { { 4000 } } { { 4002 } } USDUSD \ displaystyle 1 - \ frac { { 4000 } } { { 4002 } } = \ frac { 2 } { { 4002 } } USDUSD \ displaystyle 1 - \ frac { { 2001 } } { { 2003 } } = \ frac { 2 } { { 2003 } } USD+ ) Vì USD \ displaystyle \ frac { 2 } { { 4002 } } < \ frac { 2 } { { 2003 } } USD nên USD \ displaystyle \ frac { { 4000 } } { { 4002 } } > \ frac { { 2001 } } { { 2003 } } USD hay USD \ displaystyle \ frac { { 2000 } } { { 2001 } } > \ frac { { 2001 } } { { 2003 } } USD .

– So sánh “ phần hơn ” với 1 của mỗi phân số :

+ Phần hơn với đơn vị chức năng của phân số là hiệu của phân số và 1 .+ Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn .USD \ displaystyle \ frac { a } { b } – 1 < \ frac { c } { d } USD thì USD \ displaystyle \ frac { a } { b } < \ frac { c } { d } USDVí dụ : So sánh : USD \ displaystyle \ frac { { 2001 } } { { 2000 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 2002 } } { { 2001 } } USD

B­ước 1: Tìm phần hơn

Ta có :USD \ displaystyle \ frac { { 2001 } } { { 2000 } } – 1 = \ frac { 1 } { { 2000 } } USDUSD \ displaystyle \ frac { { 2002 } } { { 2001 } } – 1 = \ frac { 1 } { { 2001 } } USD

B­ước 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.

Vì USD \ displaystyle \ frac { 1 } { { 2000 } } > \ frac { 1 } { { 2001 } } USD nên USD \ displaystyle \ frac { { 2001 } } { { 2000 } } > \ frac { { 2002 } } { { 2001 } } USD* Chú ý :Đặt C = tử 1 – mẫu 1D = tử 2 – mẫu 2Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C D ta hoàn toàn có thể sử dụng đặc thù cơ bản của phân số để đổi khác đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau .Ví dụ : So sánh hai phân số sau : USD \ displaystyle \ frac { { 2001 } } { { 2000 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 2003 } } { { 2001 } } USD

B­ước 1:

Ta có : USD \ displaystyle \ frac { { 2001 } } { { 2000 } } = \ frac { { 2001 \ times 2 } } { { 2000 \ times 2 } } = \ frac { { 4002 } } { { 4000 } } USDUSD \ displaystyle \ frac { { 4002 } } { { 4000 } } – 1 = \ frac { 2 } { { 4000 } } USDUSD \ displaystyle \ frac { { 2003 } } { { 2001 } } – 1 = \ frac { 2 } { { 2001 } } USD

Bư­ớc 2: Vì $ \displaystyle \frac{2}{{4000}}<\frac{2}{{2001}}$ nên $ \displaystyle \frac{{4002}}{{4000}}<\frac{{2003}}{{2001}}$ hay $ \displaystyle \frac{{2001}}{{2000}}<\frac{{2003}}{{2001}}$

– So sánh qua một phân số trung gian :

Ví dụ 1 : So sánh USD \ displaystyle \ frac { 3 } { 5 } USD và USD \ displaystyle \ frac { 4 } { 9 } USD

Bư­ớc 1: Ta có:

USD \ displaystyle \ frac { 3 } { 5 } > \ frac { 3 } { 6 } = \ frac { 1 } { 2 } USDUSD \ displaystyle \ frac { 4 } { 9 } < \ frac { 4 } { 8 } = \ frac { 1 } { 2 } USD

Bư­ớc 2: Vì $ \displaystyle \frac{3}{5}>\frac{1}{2}>\frac{4}{9}$ nên $ \displaystyle \frac{3}{5}>\frac{4}{9}$

Ví dụ 2 : So sánh USD \ displaystyle \ frac { { 19 } } { { 60 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 31 } } { { 60 } } USD

Bư­ớc 1: Ta có:

USD \ displaystyle \ frac { { 19 } } { { 60 } } < \ frac { { 20 } } { { 60 } } = \ frac { 1 } { 3 } USDUSD \ displaystyle \ frac { { 31 } } { { 90 } } > \ frac { { 30 } } { { 90 } } = \ frac { 1 } { 3 } USD

Bư­ớc 2: Vì $ \displaystyle \frac{{19}}{{60}}<\frac{1}{3}<\frac{{31}}{{90}}$ nên $ \displaystyle \frac{{19}}{{60}}<\frac{{31}}{{90}}$

Ví dụ 3 : So sánh USD \ displaystyle \ frac { { 101 } } { { 100 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 100 } } { { 101 } } USDVì USD \ displaystyle \ frac { { 101 } } { { 100 } } > 1 > \ frac { { 100 } } { { 101 } } USD nên USD \ displaystyle \ frac { { 101 } } { { 100 } } > \ frac { { 100 } } { { 101 } } USD

Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.

USD \ displaystyle \ frac { { 40 } } { { 57 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 41 } } { { 55 } } USD

Bài giải

+ ) Ta chọn phân số trung gian là : USD \ displaystyle \ frac { { 40 } } { { 55 } } USD+ ) Ta có : USD \ displaystyle \ frac { { 40 } } { { 57 } } < \ frac { { 40 } } { { 55 } } < \ frac { { 41 } } { { 55 } } USD+ ) Vậy USD \ displaystyle \ frac { { 40 } } { { 57 } } < \ frac { { 41 } } { { 55 } } USD* Cách chọn phân số trung gian :– Trong một số ít trường hợp đơn thuần, hoàn toàn có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được như : USD \ displaystyle 1, \ frac { 1 } { 2 }, \ frac { 1 } { 3 }, … USD ( ví dụ 1, 2, 3 ) bằng cách tìm thương của mẫu số và tử số của từng phân số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa tìm được. Số tự nhiên đó chính là mẫu số của phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1 .– Trong tr ­ ường hợp tổng quát : So sánh hai phân số USD \ displaystyle \ frac { a } { b } USD và USD \ displaystyle \ frac { c } { d } USD ( a, b, c, d khác 0 )– Nếu a > c còn b < d ( hoặc a < c còn b > d ) thì ta hoàn toàn có thể chọn phân số trung gian là USD \ displaystyle \ frac { a } { d } USD ( hoặc USD \ displaystyle \ frac { c } { b } USD )– Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số ( ví dụ : gấp 2 hoặc 3 lần, … hay bằng USD \ displaystyle \ frac { 1 } { 2 } = \ frac { 2 } { 3 } = \ frac { 4 } { 5 } = \ ldots USD ) thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số ít lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta triển khai chọn phân số trung gian như ­ trên .Ví dụ : So sánh hai phân số USD \ displaystyle \ frac { { 15 } } { { 23 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 70 } } { { 117 } } USD

Bước 1: Ta có:

USD \ displaystyle \ frac { { 15 } } { { 23 } } = \ frac { { 15 \ times 5 } } { { 23 \ times 5 } } = \ frac { { 75 } } { { 115 } } USDTa so sánh USD \ displaystyle \ frac { { 70 } } { { 117 } } USD với USD \ displaystyle \ frac { { 75 } } { { 115 } } USD

Bước 2: Chọn phân số trung gian là: $ \displaystyle \frac{{70}}{{115}}$

Bư­ớc 3: Vì $ \displaystyle \frac{{70}}{{117}}<\frac{{70}}{{115}}<\frac{{75}}{{115}}$ nên $ \displaystyle \frac{{70}}{{117}}<\frac{{75}}{{115}}$ hay $ \displaystyle \frac{{70}}{{117}}<\frac{{15}}{{23}}$

– Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh

– Khi thực thi phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta đợc cùng thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó .Ví dụ : So sánh hai phân số sau : USD \ displaystyle \ frac { { 47 } } { { 15 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 65 } } { { 21 } } USD .Ta có :USD \ displaystyle \ frac { { 47 } } { { 15 } } = 3 \ frac { 2 } { { 15 } } USDUSD \ displaystyle \ frac { { 65 } } { { 21 } } = 3 \ frac { 2 } { { 21 } } USDVì USD \ displaystyle \ frac { 2 } { { 15 } } > \ frac { 2 } { { 21 } } USD nên USD \ displaystyle 3 \ frac { 2 } { { 15 } } > 3 \ frac { 2 } { { 21 } } USD hay USD \ displaystyle \ frac { { 47 } } { { 15 } } > \ frac { { 65 } } { { 21 } } USD– Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta được hai thương khác nhau, ta cũng đưa hai phân số về hỗn số để so sánh .Ví dụ : So sánh USD \ displaystyle \ frac { { 41 } } { { 11 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 23 } } { { 10 } } USDTa có :USD \ displaystyle \ frac { { 41 } } { { 11 } } = 3 \ frac { 8 } { { 11 } } USDUSD \ displaystyle \ frac { { 23 } } { { 10 } } = 2 \ frac { 3 } { { 10 } } USDVì 3 > 2 nên USD \ displaystyle 3 \ frac { 8 } { { 11 } } > 2 \ frac { 3 } { { 10 } } USD hay USD \ displaystyle \ frac { { 41 } } { { 10 } } > \ frac { { 23 } } { { 10 } } USD* Chú ý : Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số ít tự nhiên ta có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa hiệu quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau .Ví dụ : So sánh USD \ displaystyle \ frac { { 47 } } { { 15 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 65 } } { { 21 } } USD .+ ) Ta có : USD \ displaystyle \ frac { { 47 } } { { 15 } } \ times 3 = \ frac { { 47 } } { 5 } = 9 \ frac { 2 } { 5 } USDUSD \ displaystyle \ frac { { 65 } } { { 21 } } \ times 3 = \ frac { { 65 } } { 7 } = 9 \ frac { 2 } { 7 } USD+ ) Vì USD \ displaystyle \ frac { 2 } { 5 } > \ frac { 2 } { 7 } USD nên USD \ displaystyle 9 \ frac { 2 } { 5 } > 9 \ frac { 2 } { 7 } USD hay USD \ displaystyle \ frac { { 47 } } { { 15 } } > \ frac { { 65 } } { { 21 } } USD

– Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh

– Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm đợc bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau ; nếu thương tìm đợc lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai ; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai .Ví dụ : So sánh USD \ displaystyle \ frac { 5 } { 9 } USD và USD \ displaystyle \ frac { 7 } { 10 } USDTa có : USD \ displaystyle \ frac { 5 } { 9 } : \ frac { 7 } { { 10 } } = \ frac { { 50 } } { { 63 } } < 1 USD. Vậy USD \ displaystyle \ frac { 5 } { 9 } < \ frac { 7 } { { 10 } } USD .USD \ displaystyle \ frac { a } { b } < \ frac { c } { d } USD và USD \ displaystyle \ frac { c } { d } < \ frac { e } { f } USD thì USD \ displaystyle \ frac { a } { b } < \ frac { e } { f } USD .

– Rút gọn phân số .

Bài tập so sánh phân số

1, Không quy đồng tử  số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau :

a, USD \ displaystyle \ frac { { 12 } } { { 14 } } USD, USD \ displaystyle \ frac { { 1212 } } { { 1414 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 121212 } } { { 141414 } } USDb, USD \ displaystyle \ frac { { 24 } } { { 35 } } USD, USD \ displaystyle \ frac { { 2424 } } { { 3535 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 242424 } } { { 353535 } } USDc, USD \ displaystyle \ frac { { ab } } { { cd } } USD, USD \ displaystyle \ frac { { abab } } { { cdcd } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { ababab } } { { cdcdcd } } USDd, USD \ displaystyle \ frac { { 123 } } { { 145 } } USD, latex \ displaystyle \ frac { { 123123 } } { { 145145 } } USD và latex \ displaystyle \ frac { { 123123123 } } { { 145145145 } } USDe, USD \ displaystyle \ frac { { 122436 } } { { 132639 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 12 } } { { 13 } } USDf, USD \ displaystyle \ frac { { 22 } } { { 25 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 224466 } } { { 255075 } } USD

2, Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : (so sánh phần bù)

a ) USD \ displaystyle \ frac { { 1999 } } { { 2000 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 2003 } } { { 2004 } } USDb ) USD \ displaystyle \ frac { { 1997 } } { { 2000 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 1995 } } { { 1998 } } USDc ) USD \ displaystyle \ frac { a } { { a + 1 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { a + 1 } } { { a + 2 } } USD

3, Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : (so sánh phần hơn)

a ) USD \ displaystyle \ frac { { 1995 } } { { 1994 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 2003 } } { { 2002 } } USDb ) USD \ displaystyle \ frac { { 2003 } } { { 2000 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 1999 } } { { 1996 } } USDc ) USD \ displaystyle \ frac { { 299 } } { { 295 } } USD và USD \ displaystyle \ frac { { 279 } } { { 275 } } USD

4, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần

USD \ displaystyle \ frac { 1 } { 2 }, \ frac { 2 } { 3 }, \ frac { 3 } { 4 }, \ frac { 4 } { 5 }, \ frac { 5 } { 6 }, \ frac { 6 } { 7 }, \ frac { 7 } { 8 }, \ frac { 8 } { 9 }, \ frac { 9 } { { 10 } } USD

5, Viết 5 phân số khác nhau nằm giữa 2 phân số $ \displaystyle \frac{2}{5}$ và $ \displaystyle \frac{3}{5}$.

Toán lớp 5 – Tags: bồi dưỡng toán 5, phân số, toán 5

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay