ứng dụng của tích phân xác định để tính độ dài cung và diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay trong MAPLE
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (325.61 KB, 20 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN – CƠ – TIN HỌC
BÀI TẬP LỚN
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI CUNG VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH
CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
TRONG MAPLE
Sinh viên thực hiện: Phạm Hương Giang
Lớp: K56A1T2
Môn học: Thực hành tính toán
Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Điển
Hà Nội – 12/2013
Mục lục
0.1 Giới thiệu về Maple. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3
0.1.1 Maple là gì?. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3
0.1.2 Các chức năng chính. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 3
0.2 Tích phân. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4
0.2.1 Tích phân không xác định. .. .. .. .. .. .. .. .. 4
0.2.2 Tích phân xác định. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4
0.3 Tính độ dài cung. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6
0.3.1 Xây dựng công thức trong giải tích. .. .. .. .. .. . 6
0.3.2 Xây dựng thuật toán trong Maple. .. .. .. .. .. . 9
0.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay. .. .. .. . 11
0.4.1 Xây dựng công thức trong giải tích. .. .. .. .. .. . 11
0.4.2 Xây dựng thuật toán trong Maple. .. .. .. .. .. . 14
0.5 Maple là gì ?. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 19
MỤC LỤC 2
Lời nói đầu
Tích phân xác định có rất nhiều ứng dụng. Trong đó, tính độ dài cung và
diện tích vật thể tròn xoay là một trong số đó. Thông thường, chúng ta tính
trực tiếp mất rất nhiều thời gian và công sức. Nhưng với phần mềm Maple,
một phần mềm tính toán t hông minh thì việc này trở nên dễ dàng hơn rất
nhiều. Nội dung bài tập lớn này, em muốn trình bày về việc sử dụng Maple
để tính độ dài cung và diện tích vật thể tròn xoay.
Nhân đây em xin gửi lời cảm ơn, lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS
Nguyễn Hữu Điển đã hướng dẫn em rất nhiệt tình, giúp giải đáp mọi thắc
mắc của em khi cần thiết để em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này. Nhờ
có những bài giảng của thầy mà em được tiếp cận những phần mềm thú vị
và hữu ích như Maple và VieTeX.
Bài tập lớn này vẫn còn nhiều sai sót. Mọi đóng góp xin gửi về địa chỉ
email: giangbeo1612@gmail.com.
Một lần nữa xin chân thành cảm ơn.
Sinh viên trình bày: Phạm Hương Giang.
Lớp : K56 – Toán học A1T2.
Mã sinh viên: 1100 1604.
0.1. Giới thiệu về Maple 3
0.1. Giới thiệu về Maple
0.1.1. Maple là gì?
Maple là một phần mềm Toán học do Đại học Tổng hợp Waterloo
(Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985. Phần mềm này ngày
càng được hoàn thiện sau nhiều lần cải tiến và phát triển qua nhiều phiên
bản khác nhau. Maple chạy được trên tất cả các hệ điều hành, có trình trợ
giúp (Help) rất dễ sử dụng. Từ các phiên bản 7, Maple cung cấp ngày càng
nhiều các công cụ trực quan, các gói lẹnh tự học gắn liền với toán phổ thông
và đại học. Ưu điểm đó khiến ngày càng có nhiều các nước trên thế giới
chọn sử dụng Maple trong dạy – học toán tương tác trước đòi hỏi của thực
tiễn và sự phát triển của giáo dục.
0.1.2. Các chức năng chính
Maple là một phần mềm đặc biệt, có tính ứng dụng cao trong nhiều
ngành khoa học và kỹ thuật. Trong đó, ta có thể nêu vắn tắt một số các chức
năng chính của Maple như sau:
– Thực hiện các tính toán với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ
chính xác cao.
– Ngôn ngữ lập trình đơn giản, mạnh mẽ, có khả năng tương tác với các
ngôn ngữ lập trình khác.
– Sử dụng các gói lệnh chuyên dụng của Maple để giải quyết các bài
toán cụ thể như: Vẽ đồ thị (gói plots), Hình học giải tích (gói geometry),
Đại số tuyến tính (gói linalgs), Giải tích (gói student), Phương trình vi
phân (gói DEtools), Lý thuyết số (gói numtheory), Dữ liệu rời rạc (gói
DiscreteTransforms),
– Tính toán trên các biểu thức đại số.
– Thiết kế các đối tượng 3 chiều.
– Minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh và động của các
đường và mặt được cho bởi các hàm tùy ý trong nhiều hệ tọa độ khác
nhau.
– Có thể thực hiện được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương
trình toán đại học và sau đại học.
– Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các
lớp học tương tác trực tiếp.
0.2. Tích phân 4
– Một công cụ hữu ích cho học sinh, sinh viên trong việc tự học. Ngoài
ra, Maple còn rất nhiều tính năng ở các vấn đề khác nữa.
0.2. Tích phân
Có hai loại tích phân là: Tích phân không xác định và Tích phân xác
định.
0.2.1. Tích phân không xác định
Cho hàm f xác định trên một khoảng bất kỳ U (một đoạn, khoảng hay
nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn trong một tập số thực). Hàm khả vi F trên
U được gọi là nguyên hàm của f trên khoảng bất kỳ đó nếu F
(x) = f (x)
với mọi x ∈ U.
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f trên khoảng bất kỳ U được
gọi là tích phân không xác định của hàm f trên U và ký hiệu là
f (x)dx.
Giả sử F là một nguyên hàm của f trên U, khi đó:
f (x)dx = F(x) + C,
trong đó C hằng số tùy ý.
* Cách tính tích phân không xác định với Maple
> int(
Ví dụ:
– Với lệnh >int(x
3
cos(x), x); ta tìm được
x
3
cos(x)dx = x
3
sin
(
x
)
+ 3 x
2
cos
(
x
)
−6 cos
(
x
)
−6 x sin
(
x
)
– Với lệnh >int(sqrt(x
2
+ a), x); ta tìm được
x
2
+ adx = 1/2 x
x
2
+ a + 1/2 a ln
x +
x
2
+ a
0.2.2. Tích phân xác định
Cho một đoạn thẳng ∆ trong tập số thực R với hai đầu mút a, b (không
nhất thiết a ≤ b) và xét một cách chia đoạn ∆ thành các đoạn con ∆
i
với các
đầu mút x
i−1
, x
i
bởi các điểm chia tùy ý lần lượt là
a = x
0
, x
1
,, x
n
= b.
Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch đoạn ∆ và ký hiệu là T.
Gọi ∆x
i
= x
i
− x
i−1
, như vậy nếu a ≤ b thì ∆x
i
≥ 0 và nếu a ≥ b thì
∆ ≤ 0∀i = 1, 2,, n.
0.2. Tích phân 5
Số d(T) = max
i
|∆x
i
| = max
i
|x
i
− x
i−1
| được gọi là đường kính của phân
hoạch T.
Gọi P(∆) là tập hợp tất cả các phân hoạch trên ∆. Giả sử T
1
∈ P(∆ ), ta
nói T
2
mịn hơn T
1
và ký hiệu T
2
≥ T
1
nếu tập hợp các điểm chia của T
2
bao
gồm các điểm chia của T
1
hay nói cách khác mọi đoạn con của phân hoạch
T
2
đều chứa trong một đoạn con nào đó của phân hoạch T
1
.
Giả sử f là một hàm xác định trên đoạn ∆. Trên mỗi đoạn con ∆
1
với hai
đầu mút x
i−1
, x
i
ta lấy một điểm ξ
i
tùy ý và lập thành tổng
σ
f
(T, ξ) =
n
∑
i=1
f (ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) =
n
∑
i−1
f (ξ
i
)∆x
i
.
Tổng σ
f
(T, ξ) được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn ∆ ứng với
phân hoạch T và điểm chọn ξ = (ξ
1
, ξ
2
,, ξ
n
) với ξ
i
∈ ∆
i
(i = 1, 2,, n). Khi
phân hoạch T và điểm ξ t hay đổi ta có một họ không đếm được tổng tích
phân {σ
f
(T, ξ)}.
Ta nói họ tổng tích phân này có giới hạn I ∈ R khi d(T) → 0 nếu cho
trước ε > 0 bé tùy ý t hì luôn luôn tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho với mọi
T ∈ P(∆) với d(T) < δ với mọi cách lấy điểm ξ ta đều có |σ
f
(T, ξ) − I| < ε.
Khi đó ta viết
lim
d(T)→0
σ
f
(T, ξ) = I.
Giới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm f
trên đoạn ∆ với hai đầu mút a, b và ký hiệu:
I =
b
a
f (x)dx.
* Cách tính tích phân xác định trong Maple
> int(
Ví dụ:
– Với lệnh > f := arcsin(sqrt(x/(x + 1))) : và > int( f, x = 0 3); ta tính
được
3
0
arcsin
x
x + 1
dx = −
√
3 + 4/3 π
.
– Với lệnh g := 1/(x
2
+ x + 1); và > int(g, x = −1 1); ta tìm được
3
0
1
x
2
+ x + 1
= 1/3 π
√
3
.
0.3. Tính độ dài cung 6
0.3. Tính độ dài cung
0.3.1. Xây dựng công thức trong giải tích
Định nghĩa
Trước hết ta hiểu cung là một ánh xạ liên tục γ : [a, b] → R
3
, ta thường
yêu cầu thêm ánh xạ γ là một đơn ánh (cung Jordan) và khi đó có thể đồng
nhất γ với ảnh γ([a, b]) ⊆ R
3
.
Bài toán đặt ra là hãy đưa ra định nghĩa và cách tính độ dài cung γ.
Đặt A = γ(a), B = γ(b), lấy một phân hoạch T của [a, b] với các điểm
chia a = t
0
< t
1
< < t
n
= b từ đó ta có một phân hoạch γ([a, b]) bởi các
điểm chia A = γ(a) = M
0
, γ(t
1
) = M
1
,, γ(t
n
) = M
n
= B.
Nối các điểm M
i−1
, M
i
bằng một đoạn thẳng (i = 1, 2,, n) ta được một
đường gấp khúc ký hiệu là γ(T), một cách tự nhiên ta lấy độ dài đường gấp
khúc γ(T) làm giá trị gần đúng của độ dài cung γ .
Đặt ρ(γ (T)) = max
1≤i≤n
ρ(M
i−1
, M
i
) trong đó ρ(M
i−1
, M
i
) là khoảng cách
giữa hai điểm M
i−1
, M
i
trong không gian R
3
. Do tính liên tục của ánh xạ γ
ta có thể suy ra rằng khi d(T) → 0 (d(T) là đường kính của phân hoạch T)
thì ρ(γ(T)) cũng tiến đến không.
Định nghĩa
Nếu độ dài đường gấp khúc γ(T) có giới hạn hữu hạn khi ρ(γ(T)) → 0
thì ta nói cung γ có độ dài (hay còn gọi là đo được) và giới hạn đó được lấy
làm độ dài của cung γ.
Công thức tính độ dài cung
Bây giờ ta lập công thức tính độ dài của các cung thuộc lớp C
1
, để đơn
giản ta xây dựng công thức cho cung trong R
2
, trong R
3
được làm tương tự.
Giả sử cho cung γ : [a, b] → R
2
với γ(t) = (x(t), y(t)) ∈ R
2
, x(t), y(t) là
hai hàm có các đạo hàm liên tục trên [a, b] và x
2
(t ) + y
2
(t ) > 0∀t ∈ [a, b],
một cung như thế được gọi là cung trơn.
Xét một phân hoạch T bất kỳ của [a, b]
a = t
0
< t
1
< t < 2 < < t
n
= b
gọi d(T) là đường kính của phân hoạch T, M
i
= γ(t
i
) = (x(t
i
), y( t
i
)), i =
0, 1, 2,, n. Theo công thức số gia giới nội
x(t
i
) −x(t
i−1
) = x
(ξ)∆t
i
y( t
i
) −y (t
i−1
) = y
(η
i
)∆ t
i
.
0.3. Tính độ dài cung 7
∆t
i
= t
i
−t
i−1
Khi đó độ đài đoạn thẳng
M
i−1
M
i
=
[x(t
i
) −x(t
i−1
)]
2
+ [y(t
i
) −y (t
i−1
)]
2
=
[x
(ξ
i
)]
2
+ [y
(η
i
)]
2
∆t
i
và độ dài đường gấp khúc γ(T) sẽ là
p
n
=
n
∑
i=1
[x
(ξ
i
)]
2
+ [y
(η
i
)]
2
∆t
i
.
Đặt σ(T, ξ) =
∑
n
i=1
[x
(ξ
i
)]
2
+ [y
(η
i
)]
2
∆t
i
.
Áp dụng bất đẳng thức |
√
u
2
−v
2
−
√
u
2
−w
2
| ≤ |v − w|, với mọi số
thực u, v, w.
|p
n
−σ(T, ξ)| ≤
n
∑
i=1
|
[x
(ξ
i
)]
2
+ [y
(η
i
)]
2
−
[x
(ξ
i
)]
2
+ [y
(ξ
i
)]
2
|∆t
i
≤
n
∑
i=1
|y
(η
i
) −y
(ξ
i
)|∆t
i
.
Vì y
(t ) liên tục trên [a, b] nên nó liên tục đều trên đó.
Khi đó ∀ε > 0 cho trước ∃ một số δ > 0 sao cho ∀T ∈ P([a, b]) mà
d(T) < δ
1
ta đều có:
|y
(ξ
i
) −y
(η
i
)| <
ε
2(b −a)
điều này có được vì ξ
i
, η
i
đều thuộc ∆
i
nên |ξ
i
−η
i
| < d(T) < δ
1
.
Vì vậy:
p
n
−σ(T, ξ) ≤
n
∑
i=1
|y
(ξ
i
) −y
(η
i
)|∆t
i
<
ε
2(b −a)
(b −a) =
ε
2
.
Mặt khác do x
(t ), y
(t ) là những hàm liên tục trên [a, b] nên
[x
(t )]
2
+ [y
(t )]
2
khả tích trên đoạn đó.
Đặt L =
a
b
[x
(t )]
2
+ [y
(t )]
2
dt khi đó ∃δ
2
> 0 sao cho ∀T ∈ P([a, b])
mà d(T) < δ
2
ta có |σ(T, ξ) − L| <
ε
2
.
Nếu chọn δ = min(δ
1
, δ
2
)), và ∀T ∈ P([a, b]) mà d(T) < δ thì:
|p
η
− L| ≤ |p
η
−σ(T, ξ)| + |σ(T, ξ) − L| <
ε
2
+
ε
2
= ε
0.3. Tính độ dài cung 8
có nghĩa là lim
d(t)→0
p
n
=
a
b
[x
(t )]
2
+ [y
(t )]
2
dt.
Vậy công thức tính độ dài cung phẳng là L =
a
b
[x
(t )]
2
+ [y
(t )]
2
dt.
Nếu γ : [a, b] → R
3
, với γ(t) = (x(t), y (t), z(t)) là hàm véc tơ có đạo hàm
cấp 1 liên tục trên [a, b] thì γ có độ dài và độ dài của nó được tính theo công
thức:
L =
a
b
[x
(t )]
2
+ [y
(t )]
2
+ [z
(t )]
2
dt.
Trường hợp đặc biệt khi γ : [a, b] → R
2
là đường cong phẳng γ(x) =
(x, f (x)) f ∈ C
1
([a, b]) thì
L =
a
b
1 + [ f
(x)]
2
dx.
Các ví dụ
Ví dụ 1: Tính độ dài cung OA nằm trên parabol y =
x
2
2p
, trong đó O là
gốc tọa độ, A là điểm nằm trên parabol có hoành độ là t.
L =
t
0
1 + [ f
(x)]
2
dx
=
1
p
t
0
x
2
+ p
2
dx
=
1
p
x
2
x
2
+ p
2
+
p
2
2
ln (x +
x
2
+ p
2
)
t
0
=
t
2p
t
2
+ p
2
+
p
2
ln
t +
t
2
+ p
2
p
.
Ví dụ 2: Tính độ dài cung xoắn ốc Archimede
x = a cos t
y = a sin t 0 ≤ t ≤ 2π
z = at a > 0
L =
2π
0
[x
(t )]
2
+ [y
(t )]
2
+ [z
(t )]
2
dt = a
√
2
2π
0
dt = πa2
√
2.
0.3. Tính độ dài cung 9
0.3.2. Xây dựng thuật toán trong Maple
+) Thuật toán:
Bước 1 Khai báo 2 gói lệnh là “Student[Calculus1] ” và “plots”.
Bước 2 Nhập f(x), g(x) và a, b (nếu có).
Bước 3 Vẽ đồ thị hàm số. Tính độ dài cung theo công thức.
+) Trên Maple
> with(Student[Calculus1]):
>with(plots);
> sapxeptang := proc(danhsach::list)
local tg, i, j, A, n;
A:= danhsach;
n:=nops(danhsach);
for i to n do
for j from i + 1 to n do
if eval f (A[j]) < eval f (A[i]) then
tg := A[i];
A[i] := A[j];
A[j] := tg
fi;
od;
od;
return A
end;
>dodaicung := proc
local t, q, a, b, f, g, L, i ;
f :=readstat(“Nhap f (x) = “);
g:=readstat(“Nhap g(x) = “);
a := readstat(“Nhap a = «neu khong co Enter bo qua» “);
b:= readstat(“Nhap b = «neu khong co Enter bo qua» “);
print(“——————–Bai giai——————–”);
if a = NULL and b = NULL then
print(“Do dai cung gioi han boi cac duong “);
print(y = f, y = g, x = a, x = b);
print(“Do thi cac duong cong “);
print(plot({f, g}, x = −10 10, y = −10 10, color=[red, green]));
print((“Vay do dai cung la: S=”Int([Di f f ( f, x)]
2
+ [Di f f (g, x)]
2
, x = a b) =
(int(([di f f ( f, x)]
2
+ [di f f (g, x)]
2
), x = a b))”
fi;
if a=NULL and b=NULL
0.3. Tính độ dài cung 10
then
print(“Do dai cung gioi han boi cac duong “);
print(y = f, y = g);
print(“Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh
: “);
print(f − g = 0);
print(“Ta duoc “solve({f = g}, {x}));
print(“Do thi “);
print(plot({f, g}, x = −5 5, y = −8 8));
t := solve( f = g, x);
t := [t];
q:=sapxeptang(t);
L := 0;
i := 1;
while i < nops(q) do
L := L + in t(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f ( f, x)]
2
) + ([di f f (g, x)]
2
), x =
q[1] q[i + 1]) ;
i := i + 1;
od;
print(“Vay do dai cung la: “);
print(L);
fi;
end;
+) Ví dụ:
Tính độ dài cung của đường cong y = 2x − x
2
trong đoạn [0,1].
“——————–Bai giai——————–”
“Do dai cung gioi han boi cac duong “
y = 2x −x
2
, y = 0, x = 0, x = 1
“Do thi cac duong cong “
Vay do dai cung la:
L =
1
0
d
dx
2x −x
2
2
+
d
dx
0
2
dx
=
1
0
([2 −2x]
2
+ [0]
2
)dx
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 11
Hình 1:
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay
0.4.1. Xây dựng công thức trong giải tích
Cho hình thang cong giới hạn bởi
a ≤ x ≤ b
0 ≤ y ≤ f (x)
với f (x) là một hàm
thuộc lớp C
1
trên [a, b].
Quay hình thang cong quanh trục Ox ta được một hình tròn xoay Ω. Bài
toán đặt ra là hãy tính diện tích xung quanh của vật thể này.
Ta hãy xác định khái niệm diện tích xung quanh và xây dựng công t hức
tính.
Xét một phân hoạch T đoạn [a, b]
a = x
0
< x
1
< < x
n
= b.
Khi đó đường cong y = f (x) được chia ra làm n phần bởi các điểm
(a, f (a)) = A = M
0
, M
1
,, M
n
= (b, f (b )).
Khi quay xung quanh trục Ox đoạn thẳng M
i−1
M
i
tạo thành mặt xung
quanh của hình nón cụt có diện tích xung quanh là
S
i
= πl
i
[ f (x
i−1
) + f (x
i
)] i = 1, 2,, n
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 12
trong đó l
i
là độ dài đoạn thẳng M
i−1
M
i
.
Áp dụng công thức Lagrange
l
i
=
(x
i
− x
i−1
)
2
+ [f (x
i
) − f (x
i−1
)]
2
=
1 + [ f
(ξ
i
)]
2
∆x
i
.
Khi đó tổng
P
n
=
n
∑
i=1
π
1 + [ f
(ξ
i
)]
2
[ f (x
i
) − f (x
i−1
)] ∆x
i
được lấy làm giá trị xấp xỉ của diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay
Ω. Nếu khi d(T) → 0 mà p
n
dần đến một giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó
được lấy làm diện tích xung quanh của hình tròn xoay Ω.
Vì f có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b ] nên tồn tại tích phân
a
b
2π f (x)
1 + [ f
(x
i
)]
2
dx = I.
Đặt σ(T, ξ) =
n
∑
i=1
2π f (ξ)
1 + [ f
(ξ
i
)]
2
∆x
i
, khi đó ∀ε > 0, ∃δ
1
> 0 sao
cho ∀T ∈ P([a, b]) mà d(T) < δ
1
, ta có:
|σ(T, ξ) − I| <
ε
2
.
Mặt khác, do f là hàm liên tục trên [a, b] nên tồn tại δ
2
< 0 sao cho khi
d(T) < δ
2
thì
|f (x
i
) + f (x
i−1
) −2 f (ξ
i
)| <
ε
2πM(b −a)
trong đó M = max
[a, b]
1 + [ f
(x)]
2
.
Chọn δ = min (δ
1
, δ
2
) khi đó ∀T ∈ P([a, b]) mà d(T) < δ
|P
n
−σ(T, ξ)| = π
n
∑
i=1
[ f (x
i
) + f (x
i−1
) −2 f (ξ
i
)]
1 + [ f
(ξ
i
)]
2
∆x
i
= π
ε
2πM(b −a)
n
∑
i−1
∆x
i
=
ε
2
Kết hợp với điều kiện |σ(T, ξ) − I| <
ε
2
ta suy ra |P
n
− I| < ε hay
lim
d(T)→0
P
n
=
b
a
2π f (x)
1 + [ f
(x)]
2
dx.
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 13
Vậy công thức tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay
s = 2π
b
a
f (x)
1 + [ f
(x)]
2
dx.
Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay được tạo thành
khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường astroid x
2
3
+ y
2
3
= a
2
3
, (a > 0)
quanh trục Ox.
Do tính đối xứng của đường cong ta chỉ xét miền x ≥ 0, y ≥ 0, xét dạng
tham số của đường cong
x = a cos
3
t 0 ≤ t ≤
π
2
.
y = a sin
3
t
Khi đó diện tích xung quanh
s = 4π
a
0
f (x)
1 + [ f
(x)]
2
dx.
Bằng phép biến đổi x = a cos
3
t, ta có:
s = 4π
π
2
0
y( t)
1 +
y
(t )
x
(t )
2
x
(t )dt
= 4π
π
2
0
y( t)
[x
(t )]
2
+ [y
(t )]
2
dt
= 4π
π
2
0
a sin
3
t3a sin t cos tdt
= 12πa
2
π
2
0
sin
4
t cos tdt
=
12πa
2
5
.
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 14
0.4.2. Xây dựng thuật toán trong Maple
+) Thuật toán
Bước 1 Khai báo 2 gói lệnh là “Student[Calculus1] ” và “plots”.
Bước 2 Nhập f(x), g(x) và a, b (nếu có).
Bước 3 Nếu có a, b: Vẽ đồ thị hàm số. Tính theo công thức.
Bước 4 Nếu không có a,b: Tìm giao điểm của 2 đường cong. Vẽ hình. Tính theo
công thức.
+) Trong Maple
> with(Student[Calculus1]):
>with(plots);
> sapxeptang := proc(danhsach::list)
local tg, i, j, A, n;
A:= danhsach;
n:=nops(danhsach);
for i to n do
for j from i + 1 to n do
if eval f (A[j]) < eval f (A[i]) then
tg := A[i];
A[i] := A[j];
A[j] := tg
fi;
od;
od;
return A
end;
>dientichxq := proc
local t, q, a, b, f, g, S, i ;
f :=readstat(“Nhap f (x) = “);
g:=readstat(“Nhap g(x) = “);
a := readstat(“Nhap a = «neu khong co Enter bo qua» “);
b:= readstat(“Nhap b = «neu khong co Enter bo qua» “);
print(“——————–Bai giai——————–”);
if a = NULL and b = NULL then
print(“Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong “);
print(y = f, y = g, x = a, x = b);
print(“Do thi cac duong cong “);
print(plot({f, g}, x = −10 10, y = −10 10, color=[red, green]));
print((“Vay dien tich xung quanh la: S=”(Int(4 ∗ Pi ∗g ∗sqrt([Di f f ( f, x)]
2
+
[Di f f (g, x)]
2
), x = a b)) = (int(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f ( f, x)]
2
+
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 15
[di f f (g, x)]
2
), x = a b))”
fi;
if a=NULL and b=NULL
then
print(“Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong “);
print(y = f, y = g);
print(“Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh
: “);
print(f − g = 0);
print(“Ta duoc “solve({f = g}, {x}));
print(“Do thi “);
print(plot({f, g}, x = −5 5, y = −8 8));
t := solve( f = g, x);
t := [t];
q:=sapxeptang(t);
S := 0;
i := 1;
while i < nops(q) do
S := S + int(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f ( f, x)]
2
) + ([di f f ( g, x)]
2
), x =
q[1] q[i + 1]) ;
i := i + 1;
od;
print(“Vay dien tich xung quanh la: “);
print(S);
fi;
end;
+) Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay giới hạn bởi
các đường y = 2x − x
2
, y = x
3
.
“——————–Bai giai——————–”
“Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong “
y = 2x −x
2
, y = x
3
“Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : “
2x −x
2
− x
3
= 0
“Ta duoc ” ({x = 0}, {x = 1}, {x = −2})
“Do thi “
“Vay dien tich xung quanh la: “
0
−2
[2 −2x]
2
+ [3x
2
]
2
dx +
1
−2
4πx
3
[2 −2x]
2
+ [3x
2
]
2
dx
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 16
Hình 2:
Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường
y = x
4
−1
2
, y = x
3
.
“——————–Bai giai——————–”
“Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong “
y = x
4
−1, y = x
3
“Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : “
x
4
−1 −x
3
= 0
“Ta duoc ” ({x = RootO f (_Z
4
−1 −_Z
3
, index = 1)}, {x =
RootO f (_Z
4
−1 −_Z
3
, index = 2)}, {x = RootO f (_Z
4
−1 −_Z
3
, index =
4)}, {x = RootO f (_Z
4
−1 −_Z
3
, index = 4)}) “Do thi”
“Vay dien tich xung quanh la: “
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 17
Hình 3:
RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=2
RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=3
4πx
3
[4x
3
]
2
+ [3x
2
]
Xem thêm: Ứng dụng công nghệ ADN tái tổ hợp
2
dx +
RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=1
RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=3
4πx
3
[4x
3
]
2
+ [3x
2
]
2
dx +
RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=4
RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=3
4πx
3
[4x
3
]
2
+ [3x
2
]
2
dx
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 18
Tài liệu tham khảo
1. Giáo trình Giải tích Tập 2 Phép tính tích phân hàm một biến – Chuỗi số –
Dãy hàm – Chuỗi hàm
Trần Đức Long – Nguyễn Đình Sang – Hoàng Quốc Toàn
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
2. LATEX Tra cứu và soạn thảo
Nguyễn Hữu Điển – Nguyễn Minh Tuấn
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội
3. baitaplon-mau.tex
Bài tập lớn của vuthixuyen.
4. www.google.com
Ket thuc van ban
0.5. Maple là gì ? 19
0.5. Maple là gì ?
trực tiếp mất rất nhiều thời hạn và sức lực lao động. Nhưng với ứng dụng Maple, một ứng dụng thống kê giám sát t hông minh thì việc này trở nên thuận tiện hơn rấtnhiều. Nội dung bài tập lớn này, em muốn trình diễn về việc sử dụng Mapleđể tính độ dài cung và diện tích quy hoạnh vật thể tròn xoay. Nhân đây em xin gửi lời cảm ơn, lòng biết ơn thâm thúy đến thầy PGS.TSNguyễn Hữu Điển đã hướng dẫn em rất nhiệt tình, giúp giải đáp mọi thắcmắc của em khi thiết yếu để em hoàn toàn có thể hoàn thành xong tốt bài tập lớn này. Nhờcó những bài giảng của thầy mà em được tiếp cận những ứng dụng thú vịvà hữu dụng như Maple và VieTeX. Bài tập lớn này vẫn còn nhiều sai sót. Mọi góp phần xin gửi về địa chỉemail : giangbeo1612@gmail.com.M ột lần nữa xin chân thành cảm ơn. Sinh viên trình diễn : Phạm Hương Giang. Lớp : K56 – Toán học A1T2. Mã sinh viên : 1100 1604.0.1. Giới thiệu về Maple 30.1. Giới thiệu về Maple0. 1.1. Maple là gì ? Maple là một ứng dụng Toán học do Đại học Tổng hợp Waterloo ( Canada ) kiến thiết xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985. Phần mềm này ngàycàng được triển khai xong sau nhiều lần nâng cấp cải tiến và tăng trưởng qua nhiều phiênbản khác nhau. Maple chạy được trên toàn bộ những hệ quản lý, có trình trợgiúp ( Help ) rất dễ sử dụng. Từ những phiên bản 7, Maple phân phối ngày càngnhiều những công cụ trực quan, những gói lẹnh tự học gắn liền với toán phổ thôngvà ĐH. Ưu điểm đó khiến ngày càng có nhiều những nước trên thế giớichọn sử dụng Maple trong dạy – học toán tương tác trước yên cầu của thựctiễn và sự tăng trưởng của giáo dục. 0.1.2. Các tính năng chínhMaple là một ứng dụng đặc biệt quan trọng, có tính ứng dụng cao trong nhiềungành khoa học và kỹ thuật. Trong đó, ta hoàn toàn có thể nêu vắn tắt một số ít những chứcnăng chính của Maple như sau : – Thực hiện những đo lường và thống kê với khối lượng lớn, với thời hạn nhanh và độchính xác cao. – Ngôn ngữ lập trình đơn thuần, can đảm và mạnh mẽ, có năng lực tương tác với cácngôn ngữ lập trình khác. – Sử dụng những gói lệnh chuyên sử dụng của Maple để xử lý những bàitoán đơn cử như : Vẽ đồ thị ( gói plots ), Hình học giải tích ( gói geometry ), Đại số tuyến tính ( gói linalgs ), Giải tích ( gói student ), Phương trình viphân ( gói DEtools ), Lý thuyết số ( gói numtheory ), Dữ liệu rời rạc ( góiDiscreteTransforms ), – Tính toán trên những biểu thức đại số. – Thiết kế những đối tượng người dùng 3 chiều. – Minh họa hình học thuận tiện gồm : vẽ đồ thị tĩnh và động của cácđường và mặt được cho bởi những hàm tùy ý trong nhiều hệ tọa độ khácnhau. – Có thể thực thi được hầu hết những phép toán cơ bản trong chươngtrình toán ĐH và sau đại học. – Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với cáclớp học tương tác trực tiếp. 0.2. Tích phân 4 – Một công cụ hữu dụng cho học viên, sinh viên trong việc tự học. Ngoàira, Maple còn rất nhiều tính năng ở những yếu tố khác nữa. 0.2. Tích phânCó hai loại tích phân là : Tích phân không xác lập và Tích phân xácđịnh. 0.2.1. Tích phân không xác địnhCho hàm f xác lập trên một khoảng chừng bất kỳ U ( một đoạn, khoảng chừng haynửa khoảng chừng hữu hạn hay vô hạn trong một tập số thực ). Hàm khả vi F trênU được gọi là nguyên hàm của f trên khoảng chừng bất kể đó nếu F ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ U.Tập hợp tổng thể những nguyên hàm của hàm f trên khoảng chừng bất kỳ U đượcgọi là tích phân không xác lập của hàm f trên U và ký hiệu làf ( x ) dx. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên U, khi đó : f ( x ) dx = F ( x ) + C, trong đó C hằng số tùy ý. * Cách tính tích phân không xác lập với Maple > int (, ) ; Ví dụ : – Với lệnh > int ( xcos ( x ), x ) ; ta tìm đượccos ( x ) dx = xsin + 3 xcos − 6 cos − 6 x sin – Với lệnh > int ( sqrt ( x + a ), x ) ; ta tìm được + adx = 50% x + a + 50% a lnx + + a0. 2.2. Tích phân xác địnhCho một đoạn thẳng ∆ trong tập số thực R với hai đầu mút a, b ( khôngnhất thiết a ≤ b ) và xét một cách chia đoạn ∆ thành những đoạn con ∆ với cácđầu mút xi − 1, xbởi những điểm chia tùy ý lần lượt làa = x, x, , x = b. Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch đoạn ∆ và ký hiệu là T.Gọi ∆ x = x − xi − 1, như vậy nếu a ≤ b thì ∆ x ≥ 0 và nếu a ≥ b thì ∆ ≤ 0 ∀ i = 1, 2, , n. 0.2. Tích phân 5S ố d ( T ) = max | ∆ x | = max | x − xi − 1 | được gọi là đường kính của phânhoạch T.Gọi P ( ∆ ) là tập hợp toàn bộ những phân hoạch trên ∆. Giả sử T ∈ P ( ∆ ), tanói Tmịn hơn Tvà ký hiệu T ≥ Tnếu tập hợp những điểm chia của Tbaogồm những điểm chia của Thay nói cách khác mọi đoạn con của phân hoạchđều chứa trong một đoạn con nào đó của phân hoạch TGiả sử f là một hàm xác lập trên đoạn ∆. Trên mỗi đoạn con ∆ với haiđầu mút xi − 1, xta lấy một điểm ξtùy ý và lập thành tổng ( T, ξ ) = i = 1 f ( ξ ) ( x − xi − 1 ) = i − 1 f ( ξ ) ∆ xTổng σ ( T, ξ ) được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn ∆ ứng vớiphân hoạch T và điểm chọn ξ = ( ξ, ξ, , ξ ) với ξ ∈ ∆ ( i = 1, 2, , n ). Khiphân hoạch T và điểm ξ t hay đổi ta có một họ không đếm được tổng tíchphân { σ ( T, ξ ) }. Ta nói họ tổng tích phân này có số lượng giới hạn I ∈ R khi d ( T ) → 0 nếu chotrước ε > 0 bé tùy ý t hì luôn luôn sống sót một số ít δ ( ε ) > 0 sao cho với mọiT ∈ P ( ∆ ) với d ( T ) < δ với mọi cách lấy điểm ξ ta đều có | σ ( T, ξ ) − I | < ε. Khi đó ta viếtlimd ( T ) → 0 ( T, ξ ) = I.Giới hạn I đó nếu sống sót thì được gọi là tích phân xác lập của hàm ftrên đoạn ∆ với hai đầu mút a, b và ký hiệu : I = f ( x ) dx. * Cách tính tích phân xác lập trong Maple > int (, =, ) ; Ví dụ : – Với lệnh > f : = arcsin ( sqrt ( x / ( x + 1 ) ) ) : và > int ( f, x = 0 3 ) ; ta tínhđượcarcsinx + 1 dx = − 3 + 4/3 π – Với lệnh g : = 1 / ( x + x + 1 ) ; và > int ( g, x = − 1 1 ) ; ta tìm được + x + 1 = 1/3 π0. 3. Tính độ dài cung 60.3. Tính độ dài cung0. 3.1. Xây dựng công thức trong giải tíchĐịnh nghĩaTrước hết ta hiểu cung là một ánh xạ liên tục γ : [ a, b ] → R, ta thườngyêu cầu thêm ánh xạ γ là một đơn ánh ( cung Jordan ) và khi đó hoàn toàn có thể đồngnhất γ với ảnh γ ( [ a, b ] ) ⊆ RBài toán đặt ra là hãy đưa ra định nghĩa và cách tính độ dài cung γ. Đặt A = γ ( a ), B = γ ( b ), lấy một phân hoạch T của [ a, b ] với những điểmchia a = t < t < < t = b từ đó ta có một phân hoạch γ ( [ a, b ] ) bởi cácđiểm chia A = γ ( a ) = M, γ ( t ) = M, , γ ( t ) = M = B.Nối những điểm Mi − 1, Mbằng một đoạn thẳng ( i = 1, 2, , n ) ta được mộtđường gấp khúc ký hiệu là γ ( T ), một cách tự nhiên ta lấy độ dài đường gấpkhúc γ ( T ) làm giá trị gần đúng của độ dài cung γ. Đặt ρ ( γ ( T ) ) = max1 ≤ i ≤ nρ ( Mi − 1, M ) trong đó ρ ( Mi − 1, M ) là khoảng chừng cáchgiữa hai điểm Mi − 1, Mtrong khoảng trống R. Do tính liên tục của ánh xạ γta hoàn toàn có thể suy ra rằng khi d ( T ) → 0 ( d ( T ) là đường kính của phân hoạch T ) thì ρ ( γ ( T ) ) cũng tiến đến không. Định nghĩaNếu độ dài đường gấp khúc γ ( T ) có số lượng giới hạn hữu hạn khi ρ ( γ ( T ) ) → 0 thì ta nói cung γ có độ dài ( hay còn gọi là đo được ) và số lượng giới hạn đó được lấylàm độ dài của cung γ. Công thức tính độ dài cungBây giờ ta lập công thức tính độ dài của những cung thuộc lớp C, để đơngiản ta thiết kế xây dựng công thức cho cung trong R, trong Rđược làm tựa như. Giả sử cho cung γ : [ a, b ] → Rvới γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ) ) ∈ R, x ( t ), y ( t ) làhai hàm có những đạo hàm liên tục trên [ a, b ] và x 2 ( t ) + y 2 ( t ) > 0 ∀ t ∈ [ a, b ], một cung như thế được gọi là cung trơn. Xét một phân hoạch T bất kể của [ a, b ] a = t < t < t < 2 < < t = bgọi d ( T ) là đường kính của phân hoạch T, M = γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ) ), i = 0, 1, 2, , n. Theo công thức số gia giới nộix ( t ) − x ( ti − 1 ) = x ( ξ ) ∆ ty ( t ) − y ( ti − 1 ) = y ( η ) ∆ t0. 3. Tính độ dài cung 7 ∆ t = t − ti − 1K hi đó độ đài đoạn thẳngi − 1 [ x ( t ) − x ( ti − 1 ) ] + [ y ( t ) − y ( ti − 1 ) ] [ x ( ξ ) ] + [ y ( η ) ] ∆ tvà độ dài đường gấp khúc γ ( T ) sẽ lài = 1 [ x ( ξ ) ] + [ y ( η ) ] ∆ tĐặt σ ( T, ξ ) = i = 1 [ x ( ξ ) ] + [ y ( η ) ] ∆ tÁp dụng bất đẳng thức | − v − w | ≤ | v − w |, với mọi sốthực u, v, w. | p − σ ( T, ξ ) | ≤ i = 1 [ x ( ξ ) ] + [ y ( η ) ] [ x ( ξ ) ] + [ y ( ξ ) ] | ∆ ti = 1 | y ( η ) − y ( ξ ) | ∆ tVì y ( t ) liên tục trên [ a, b ] nên nó liên tục đều trên đó. Khi đó ∀ ε > 0 cho trước ∃ 1 số ít δ > 0 sao cho ∀ T ∈ P ( [ a, b ] ) màd ( T ) < δta đều có : | y ( ξ ) − y ( η ) | < 2 ( b − a ) điều này có được vì ξ, ηđều thuộc ∆ nên | ξ − η | < d ( T ) < δVì vậy : − σ ( T, ξ ) ≤ i = 1 | y ( ξ ) − y ( η ) | ∆ t2 ( b − a ) ( b − a ) = Mặt khác do x ( t ), y ( t ) là những hàm liên tục trên [ a, b ] nên [ x ( t ) ] + [ y ( t ) ] khả tích trên đoạn đó. Đặt L = [ x ( t ) ] + [ y ( t ) ] dt khi đó ∃ δ > 0 sao cho ∀ T ∈ P ( [ a, b ] ) mà d ( T ) < δta có | σ ( T, ξ ) − L | 0L = 2 π [ x ( t ) ] + [ y ( t ) ] + [ z ( t ) ] dt = a2πdt = πa22. 0.3. Tính độ dài cung 90.3.2. Xây dựng thuật toán trong Maple + ) Thuật toán : Bước 1 Khai báo 2 gói lệnh là " Student [ Calculus1 ] " và " plots ". Bước 2 Nhập f ( x ), g ( x ) và a, b ( nếu có ). Bước 3 Vẽ đồ thị hàm số. Tính độ dài cung theo công thức. + ) Trên Maple > with ( Student [ Calculus1 ] ) : > with ( plots ) ; > sapxeptang : = proc ( danhsach :: list ) local tg, i, j, A, n ; A : = danhsach ; n : = nops ( danhsach ) ; for i to n dofor j from i + 1 to n doif eval f ( A [ j ] ) < eval f ( A [ i ] ) thentg : = A [ i ] ; A [ i ] : = A [ j ] ; A [ j ] : = tgfi ; od ; od ; return Aend ; > dodaicung : = proclocal t, q, a, b, f, g, L, i ; f : = readstat ( ” Nhap f ( x ) = ” ) ; g : = readstat ( ” Nhap g ( x ) = ” ) ; a : = readstat ( ” Nhap a = « neu khong co Enter bo qua » ” ) ; b : = readstat ( ” Nhap b = « neu khong co Enter bo qua » ” ) ; print ( ” — — — — — — – Bai giai — — — — — — – ” ) ; if a = NULL and b = NULL thenprint ( ” Do dai cung gioi han boi cac duong ” ) ; print ( y = f, y = g, x = a, x = b ) ; print ( ” Do thi cac duong cong ” ) ; print ( plot ( { f, g }, x = − 10 10, y = − 10 10, color = [ red, green ] ) ) ; print ( ( ” Vay do dai cung la : S = ” Int ( [ Di f f ( f, x ) ] + [ Di f f ( g, x ) ], x = a b ) = ( int ( ( [ di f f ( f, x ) ] + [ di f f ( g, x ) ] ), x = a b ) ) ” fi ; if a = NULL and b = NULL0. 3. Tính độ dài cung 10 thenprint ( ” Do dai cung gioi han boi cac duong ” ) ; print ( y = f, y = g ) ; print ( ” Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : ” ) ; print ( f − g = 0 ) ; print ( ” Ta duoc ” solve ( { f = g }, { x } ) ) ; print ( ” Do thi ” ) ; print ( plot ( { f, g }, x = − 5 5, y = − 8 8 ) ) ; t : = solve ( f = g, x ) ; t : = [ t ] ; q : = sapxeptang ( t ) ; L : = 0 ; i : = 1 ; while i < nops ( q ) doL : = L + in t ( 4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt ( [ di f f ( f, x ) ] ) + ( [ di f f ( g, x ) ] ), x = q [ 1 ] q [ i + 1 ] ) ; i : = i + 1 ; od ; print ( " Vay do dai cung la : " ) ; print ( L ) ; fi ; end ; + ) Ví dụ : Tính độ dài cung của đường cong y = 2 x − xtrong đoạn [ 0,1 ]. " — — — — — — – Bai giai — — — — — — – " " Do dai cung gioi han boi cac duong " y = 2 x − x, y = 0, x = 0, x = 1 " Do thi cac duong cong " Vay do dai cung la : L = dx2x − xdxdx ( [ 2 − 2 x ] + [ 0 ] ) dx0. 4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 11H ình 1 : 0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay0. 4.1. Xây dựng công thức trong giải tíchCho hình thang cong số lượng giới hạn bởia ≤ x ≤ b0 ≤ y ≤ f ( x ) với f ( x ) là một hàmthuộc lớp Ctrên [ a, b ]. Quay hình thang cong quanh trục Ox ta được một hình tròn xoay Ω. Bàitoán đặt ra là hãy tính diện tích quy hoạnh xung quanh của vật thể này. Ta hãy xác lập khái niệm diện tích quy hoạnh xung quanh và kiến thiết xây dựng công t hứctính. Xét một phân hoạch T đoạn [ a, b ] a = x < x < < x = b. Khi đó đường cong y = f ( x ) được chia ra làm n phần bởi những điểm ( a, f ( a ) ) = A = M, M, , M = ( b, f ( b ) ). Khi quay xung quanh trục Ox đoạn thẳng Mi − 1 tạo thành mặt xungquanh của hình nón cụt có diện tích quy hoạnh xung quanh là = πl [ f ( xi − 1 ) + f ( x ) ] i = 1, 2, , n0. 4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 12 trong đó llà độ dài đoạn thẳng Mi − 1 Áp dụng công thức Lagrange ( x − xi − 1 + [ f ( x ) − f ( xi − 1 ) ] 1 + [ f ( ξ ) ] ∆ xKhi đó tổngi = 11 + [ f ( ξ ) ] [ f ( x ) − f ( xi − 1 ) ] ∆ xđược lấy làm giá trị giao động của diện tích quy hoạnh xung quanh của vật thể tròn xoayΩ. Nếu khi d ( T ) → 0 mà pdần đến một số lượng giới hạn hữu hạn thì số lượng giới hạn đóđược lấy làm diện tích quy hoạnh xung quanh của hình tròn xoay Ω. Vì f có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a, b ] nên sống sót tích phân2π f ( x ) 1 + [ f ( x ) ] dx = I.Đặt σ ( T, ξ ) = i = 12 π f ( ξ ) 1 + [ f ( ξ ) ] ∆ x, khi đó ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 saocho ∀ T ∈ P ( [ a, b ] ) mà d ( T ) < δ, ta có : | σ ( T, ξ ) − I | 0 ) quanh trục Ox. Do tính đối xứng của đường cong ta chỉ xét miền x ≥ 0, y ≥ 0, xét dạngtham số của đường congx = a cost 0 ≤ t ≤ y = a sinKhi đó diện tích quy hoạnh xung quanhs = 4 πf ( x ) 1 + [ f ( x ) ] dx. Bằng phép đổi khác x = a cost, ta có : s = 4 πy ( t ) 1 + ( t ) ( t ) ( t ) dt = 4 πy ( t ) [ x ( t ) ] + [ y ( t ) ] dt = 4 πa sint3a sin t cos tdt = 12 πasint cos tdt12πa0. 4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 140.4.2. Xây dựng thuật toán trong Maple + ) Thuật toánBước 1 Khai báo 2 gói lệnh là " Student [ Calculus1 ] " và " plots ". Bước 2 Nhập f ( x ), g ( x ) và a, b ( nếu có ). Bước 3 Nếu có a, b : Vẽ đồ thị hàm số. Tính theo công thức. Bước 4 Nếu không có a, b : Tìm giao điểm của 2 đường cong. Vẽ hình. Tính theocông thức. + ) Trong Maple > with ( Student [ Calculus1 ] ) : > with ( plots ) ; > sapxeptang : = proc ( danhsach :: list ) local tg, i, j, A, n ; A : = danhsach ; n : = nops ( danhsach ) ; for i to n dofor j from i + 1 to n doif eval f ( A [ j ] ) < eval f ( A [ i ] ) thentg : = A [ i ] ; A [ i ] : = A [ j ] ; A [ j ] : = tgfi ; od ; od ; return Aend ; > dientichxq : = proclocal t, q, a, b, f, g, S, i ; f : = readstat ( ” Nhap f ( x ) = ” ) ; g : = readstat ( ” Nhap g ( x ) = ” ) ; a : = readstat ( ” Nhap a = « neu khong co Enter bo qua » ” ) ; b : = readstat ( ” Nhap b = « neu khong co Enter bo qua » ” ) ; print ( ” — — — — — — – Bai giai — — — — — — – ” ) ; if a = NULL and b = NULL thenprint ( ” Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong ” ) ; print ( y = f, y = g, x = a, x = b ) ; print ( ” Do thi cac duong cong ” ) ; print ( plot ( { f, g }, x = − 10 10, y = − 10 10, color = [ red, green ] ) ) ; print ( ( ” Vay dien tich xung quanh la : S = ” ( Int ( 4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt ( [ Di f f ( f, x ) ] [ Di f f ( g, x ) ] ), x = a b ) ) = ( int ( 4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt ( [ di f f ( f, x ) ] 0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 15 [ di f f ( g, x ) ] ), x = a b ) ) ” fi ; if a = NULL and b = NULLthenprint ( ” Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong ” ) ; print ( y = f, y = g ) ; print ( ” Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : ” ) ; print ( f − g = 0 ) ; print ( ” Ta duoc ” solve ( { f = g }, { x } ) ) ; print ( ” Do thi ” ) ; print ( plot ( { f, g }, x = − 5 5, y = − 8 8 ) ) ; t : = solve ( f = g, x ) ; t : = [ t ] ; q : = sapxeptang ( t ) ; S : = 0 ; i : = 1 ; while i < nops ( q ) doS : = S + int ( 4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt ( [ di f f ( f, x ) ] ) + ( [ di f f ( g, x ) ] ), x = q [ 1 ] q [ i + 1 ] ) ; i : = i + 1 ; od ; print ( " Vay dien tich xung quanh la : " ) ; print ( S ) ; fi ; end ; + ) Ví dụ : Tính diện tích quy hoạnh xung quanh của vật thể tròn xoay số lượng giới hạn bởicác đường y = 2 x − x, y = x " — — — — — — – Bai giai — — — — — — – " " Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong " y = 2 x − x, y = x " Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : " 2 x − x − x = 0 " Ta duoc " ( { x = 0 }, { x = 1 }, { x = − 2 } ) " Do thi " " Vay dien tich xung quanh la : " − 2 [ 2 − 2 x ] + [ 3 xdx + − 24 πx [ 2 − 2 x ] + [ 3 xdx0. 4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 16H ình 2 : Tính diện tích quy hoạnh xung quanh của vật thể tròn xoay số lượng giới hạn bởi những đườngy = x − 1, y = x " — — — — — — – Bai giai — — — — — — – " " Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong " y = x − 1, y = x " Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : " − 1 − x = 0 " Ta duoc " ( { x = RootO f ( _Z − 1 − _Z, index = 1 ) }, { x = RootO f ( _Z − 1 − _Z, index = 2 ) }, { x = RootO f ( _Z − 1 − _Z, index = 4 ) }, { x = RootO f ( _Z − 1 − _Z, index = 4 ) } ) " Do thi " " Vay dien tich xung quanh la : " 0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 17H ình 3 : RootO f ( _Z − 1 − _ Z, index = 2R ootO f ( _Z − 1 − _ Z, index = 34 πx [ 4 x + [ 3 xdx + RootO f ( _Z − 1 − _ Z, index = 1R ootO f ( _Z − 1 − _ Z, index = 34 πx [ 4 x + [ 3 xdx + RootO f ( _Z − 1 − _ Z, index = 4R ootO f ( _Z − 1 − _ Z, index = 34 πx [ 4 x + [ 3 xdx0. 4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 18T ài liệu tham khảo1. Giáo trình Giải tích Tập 2 Phép tính tích phân hàm một biến - Chuỗi số - Dãy hàm - Chuỗi hàmTrần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hoàng Quốc ToànNhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hà Nội. 2. LATEX Tra cứu và soạn thảoNguyễn Hữu Điển - Nguyễn Minh TuấnNhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội3. baitaplon-mau. texBài tập lớn của vuthixuyen. 4. www.google. comKet thuc van ban0. 5. Maple là gì ? 190.5. Maple là gì ?
