Ứng dụng tích phân trong hình học – Tính diện tích hình phẳng

Ứng dụng tích phân trong hình học – Tính diện tích hình phẳng

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ], trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b được xác lập :


2. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f1 ( x ) ; y = f2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và hai đường thẳng x = a ; x = b được xác lập :

* Những điểm cần lưu ý:

1. Nếu trên đoạn [ a ; b ], hàm số y = f ( x ) không đổi dấu thì :

2. Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối .3. Diện tích của hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường x = g ( y ) ; x = h ( y ) và hai đường thẳng y = c ; y = d được xác lập :

Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) ; y = g(x); x = a; x = b là:

Phương pháp giải toán:

+ ) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : f ( x ) = g ( x ) ( 1 )+ ) Nếu ( 1 ) vô nghiệm thì :

+ ) Nếu ( 1 ) có nghiệm α thuộc [ a ; b ] thì :

Chú ý : Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x ) – g ( x ) trên đoạn [ a ; b ] rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân .

Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) là:

Trong đó α ; β là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f ( x ) = g ( x ) ( a ≤ α ≤ β ≤ b )

Phương pháp giải toán

Bước 1. Giải phương trình hoành độ giao điểm f ( x ) = g ( x ) tìm những giá trị α ; β .

    Bước 2. Tính như trường hợp 1.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

Lời giải

Quảng cáo

Ví dụ 2. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 3 là:

A. 19. B. 18. C. 20. D. 21 .

Lời giải

Ví dụ 3. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 4 là:

Lời giải

Ví dụ 4. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 8 là:

Lời giải

Ví dụ 5. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng là:

A. 1. B. 50%. C. 2. D. 3/2 .

Lời giải

Ví dụ 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x2 + 4, trục tung và trục hoành là:

Lời giải

Ví dụ 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (C1): y = x3 + 11x – 6; (C2): y = 6×2; x = 0; x = 2 (Đơn vị diện tích)

Lời giải

Ví dụ 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3; y = 4x là:

A. 8. B. 9. C. 12. D. 13 .

Lời giải

Ví dụ 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 – 3×2 – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 là:

Lời giải

Ví dụ 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2x, trục hoành và hai đường thẳng là:

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4 .

Lời giải

Ví dụ 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x3 – 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = -3; x = 4 là:

Lời giải

Ví dụ 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) y = xlnx, trục hoành và đường thẳng x = e là:

Lời giải

Ví dụ 13. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 + x – 2; y = x + 2 và hai đường thẳng x = -2; x = 3. Diện tích của (H) bằng:

Lời giải

Ví dụ 14. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = (1 + ex).x; y = (1 + e)x. Diện tích của (H) bằng:

Lời giải

Ví dụ 15. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = |x2 – 1|; y = |x| + 5. Diện tích của (H) bằng:

Lời giải

Ví dụ 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 + 3, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng:

Lời giải

Ví dụ 17. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2 – 2y + x = 0 và x + y = 0 là:

Lời giải

Ví dụ 18. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số bằng:

A. 27 ln2. B. 27 ln3. C. 28 ln3. D. 29 ln3 .

Lời giải

Quảng cáo

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tanx, trục hoành và hai đường thẳng là:

Hiển thị lời giải

Câu 2: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 là:

Hiển thị lời giải

Câu 3: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3×2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 4 là:

Hiển thị lời giải

Câu 4: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng x = 2 là:

A. 3 + 2 ln2. B. 3 – ln2. C. 3 – 2 ln2. D. 3 + ln2 .
Hiển thị lời giải

Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 – x2 và đường thẳng y = -x là:

Hiển thị lời giải

Câu 6: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2×3 – 3×2 + 1 và y = x3 – 4×2 + 2x + 1 là:

Hiển thị lời giải

Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol là:

A. 7. B. 8. C. 9. D. 6 .
Hiển thị lời giải

Câu 8: Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong: (C1): y = x2 + 1; (C2): y = x2 – 2x và đường thẳng x = -1 và x = 2.

Hiển thị lời giải

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y = x2 – 2x + 2 tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3;5) và trục tung:

A. 7. B. 6. C. 5. D. 9 .
Hiển thị lời giải

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x(x – 1)(x – 2) và trục hoành:

Hiển thị lời giải

Câu 11: Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là:

Hiển thị lời giải

Câu 12: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y = 8x; y = x và đồ thị hàm số y = x3 là a/b. Khi đó a + b bằng:

A. 68. B. 67. C. 66. D. 65 .
Hiển thị lời giải

Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1; y = x và đồ thị hàm số trong miền x ≥ 0; y ≤ 1 là a/b. Khi đó b – a bằng:

A. 4. B. 2. C. 3. D. 1 .
Hiển thị lời giải

Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

Khi đó a + 2 b bằng :A. 16. B. 15. C. 17. D. 18 .
Hiển thị lời giải

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay