Ứng dụng tích phân trong hình học

Ứng dụng tích phân trong hình học – Tính diện tích hình phẳng

Ứng dụng tích phân trong hình học – Tính diện tích hình phẳng

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ], trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b được xác lập :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
2. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f1 ( x ) ; y = f2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và hai đường thẳng x = a ; x = b được xác lập :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

* Những điểm cần lưu ý:

1. Nếu trên đoạn [ a ; b ], hàm số y = f ( x ) không đổi dấu thì :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
2. Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối .3. Diện tích của hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường x = g ( y ) ; x = h ( y ) và hai đường thẳng y = c ; y = d được xác lập :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) ; y = g(x); x = a; x = b là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Phương pháp giải toán:

+ ) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : f ( x ) = g ( x ) ( 1 )+ ) Nếu ( 1 ) vô nghiệm thì :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
+ ) Nếu ( 1 ) có nghiệm α thuộc [ a ; b ] thì :
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Chú ý : Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x ) – g ( x ) trên đoạn [ a ; b ] rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân .

Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Trong đó α ; β là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f ( x ) = g ( x ) ( a ≤ α ≤ β ≤ b )

Phương pháp giải toán

Bước 1. Giải phương trình hoành độ giao điểm f ( x ) = g ( x ) tìm những giá trị α ; β .

    Bước 2. Tính Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12 như trường hợp 1.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Quảng cáo

Ví dụ 2. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 3 là:

A. 19. B. 18. C. 20. D. 21 .

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 3. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 4 là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 4. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 8 là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 5. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12 là:

A. 1. B. 50%. C. 2. D. 3/2 .

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x2 + 4, trục tung và trục hoành là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (C1): y = x3 + 11x – 6; (C2): y = 6×2; x = 0; x = 2 (Đơn vị diện tích)

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3; y = 4x là:

A. 8. B. 9. C. 12. D. 13 .

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 – 3×2 – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2x, trục hoành và hai đường thẳng Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12 là:

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4 .

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x3 – 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = -3; x = 4 là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) y = xlnx, trục hoành và đường thẳng x = e là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 13. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 + x – 2; y = x + 2 và hai đường thẳng x = -2; x = 3. Diện tích của (H) bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 14. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = (1 + ex).x; y = (1 + e)x. Diện tích của (H) bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 15. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = |x2 – 1|; y = |x| + 5. Diện tích của (H) bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 + 3, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 17. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2 – 2y + x = 0 và x + y = 0 là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Ví dụ 18. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12 bằng:

A. 27 ln2. B. 27 ln3. C. 28 ln3. D. 29 ln3 .

Lời giải

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Quảng cáo

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tanx, trục hoành và hai đường thẳng Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12 là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 2: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 3: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3×2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 4 là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 4: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12, trục hoành và đường thẳng x = 2 là:

A. 3 + 2 ln2. B. 3 – ln2. C. 3 – 2 ln2. D. 3 + ln2 .
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 – x2 và đường thẳng y = -x là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 6: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2×3 – 3×2 + 1 và y = x3 – 4×2 + 2x + 1 là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12 là:

A. 7. B. 8. C. 9. D. 6 .
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 8: Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong: (C1): y = x2 + 1; (C2): y = x2 – 2x và đường thẳng x = -1 và x = 2.

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y = x2 – 2x + 2 tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3;5) và trục tung:

A. 7. B. 6. C. 5. D. 9 .
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x(x – 1)(x – 2) và trục hoành:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 11: Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là:

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 12: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y = 8x; y = x và đồ thị hàm số y = x3 là a/b. Khi đó a + b bằng:

A. 68. B. 67. C. 66. D. 65 .
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1; y = x và đồ thị hàm số Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12 trong miền x ≥ 0; y ≤ 1 là a/b. Khi đó b – a bằng:

A. 4. B. 2. C. 3. D. 1 .
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Khi đó a + 2 b bằng :A. 16. B. 15. C. 17. D. 18 .
Hiển thị lời giải
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments