ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Lý thuyết + Bài tập vận dụng có lời giải)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.37 MB, 34 trang )

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

KIẾN THỨC CƠ BẢN

A.

1. Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị  C  ; M  x0 ; y0   C 


Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M  x0 ; y0  là
(C): y = f(x)

d : y  f ‘  x0  x  x0   y0



Trong đó:
o

M  x0 ; y0  gọi là tọa độ của tiếp điểm.

o

k  f ‘  x0  là hệ số góc của tiếp tuyến.

M  x0 ; y0   C 

2. Ghi nhớ:


Đường thẳng d: y  a x  b (a  0) thì có hệ số góc là k  a .



Cho đường thẳng d : y  ax  b  a  0 ; d ‘ : y  a ‘ x  b ‘  a ‘  0 . Khi đó:



o

 k  kd ‘
a  a ‘
.
d / /d ‘   d

b  b ‘
b  b ‘

o

d  d ‘  kd .kd ‘  1  a.a ‘  1 .

Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b  a  0  thì hệ số góc của tiếp
tuyến là k  a .(nhớ thử lại).



Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  b  a  0  thì hệ số góc của tiếp

1
tuyến là k   .

a


Trục hoành (trục Ox ): y  0 .



Trục tung (trục Oy ): x  0 .

B.

KỸ NĂNG CƠ BẢN

Bài toán 1: Các dạng phƣơng trình tiếp tuyến thƣờng gặp.
Cho hàm số y  f  x , gọi đồ thị của hàm số là  C  .
Dạng 1. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x  tại M  xo ; yo  .
Phƣơng pháp
o

Bƣớc 1. Tính đạo hàm y  f   x  hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0  .

o

Bƣớc 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M  x0 ; y0  có dạng:
d : y  y  x0  x  x0   y0 .

Chú ý:

o

Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì khi đó

ta tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y0  f  x0 . Nếu đề cho y0 ta
thay vào hàm số để giải ra x0 .
o

Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị
 C  : y  f  x  và đường thẳng d : y  ax  b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là
nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và  C  .

 Sử dụng máy tính:
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d : y  ax  b.
o

Bƣớc 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0 . Nhập
nhấn SHIFT

o



d
 f ( x)  x  x0
dx

bằng cách

W

W

W sau đó nhấn  ta được a.

Bƣớc 2: Sau đó nhân với  X tiếp tục nhấn phím 

f

 x

CALC X  xo nhấn

phím  ta được b.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Cho hàm số  C  : y  x3  3x 2. Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M 1; 4  là:
A. y  9 x  5.

B. y  9 x  5.

C. y  9 x  5.

D. y  9 x  5.

Hƣớng dẫn giải
Ta có: y’  3x 2  6x  k  y 1  9. Phương trình tiếp tuyến tại M 1; 2  là:
d : y  y ‘  x0  x  xo   yo  y  9  x  1  4  y  9 x  5 .

 Sử dụng máy tính:
d
 X 3  3X 2  x  1

dx

o

Nhập

o

Sau đó nhân với

 X 

nhấn dấu  ta được 9.
nhấn dấu 

X 3  3 X 2 CALC X  1 nhấn dấu  ta

được 5 .
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là: y  9 x  5 .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  2 x3  6 x 2  5. Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M thuộc

 C  và có hoành độ bằng 3.
A. y  18x  49.

B. y  18x  49.

C. y  18x  49.

Hƣớng dẫn giải
Ta có: y  6 x2  12 x

x0  3  y0  5  M  3; 5  k  y  3  18 .

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y  18  x  3  5  y  18x  49 .

D. y  18x  49.

 Sử dụng máy tính:
d
2 X 3  6 X 2  5 

x 3
dx

o

Nhập

o

Sau đó nhân với

nhấn dấu  ta được 18 .

  X  nhấn dấu 

2 X 3  6 X 2  5 CALC X  3 nhấn dấu 

ta được 49 .
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là: y  18x  49.

1 4
x  2 x 2. Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M có
4
hoành độ x0  0, biết y  xo   1 là:

Ví dụ 3. Cho hàm số  C  : y 

5
A. y  3x  .
4

B. y  3x  1.

1
D. y  3x  .
4

C. y  3x  2.

Hƣớng dẫn giải
Ta có: y  x3  4 x, y  3x 2  4 .
Mà y  xo   1  3×02  4  1  x0 2  1  x0  1 (vì x0  0 ).
7
 y0    k  y 1  3 .
4

Phương trình tiếp tuyến tại M là: d : y  3  x  1   y  3x  
7
4

5
4

 Sử dụng máy tính:
d 1 4
2
nhấn dấu  ta được 3 .
 X  2X 
dx  4
x1

o

Nhập

o

Sau đó nhân với
được

 X 

nhấn dấu 

1 4
X  2X 2
4

CALC X  1 nhấn dấu  ta

5
.
4
5
4

Vậy phương trình tiếp tuyến là d : y  3x  
Dạng 2. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x  có hệ số góc k cho
trƣớc.
Phƣơng pháp
o

Bƣớc 1. Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm và tính y  f   x  .

o

Bƣớc 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k  f ‘  x0 . Giải phương trình này tìm được x0 ,
thay vào hàm số được y0 .

o

Bƣớc 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng.
d : y  y  x0  x  x0   y0

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:


Tiếp tuyến d //  : y  ax  b  hệ số góc của tiếp tuyến là k  a.



1
Tiếp tuyến d   : y  ax  b  hệ số góc của tiếp tuyến là k   
a

 Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc  thì hệ số góc của tiếp tuyến d là
k   tan  .
 Sử dụng máy tính:
Nhập: k   X   f  x  CALC X  x0 nhấn dấu  ta được b. Phương trình tiếp tuyến là
d : y  kx  b.

Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Cho hàm số  C  : y  x3  3x  2. Phương trình tiếp tuyến của  C  biết hệ số góc của
tiếp tuyến đó bằng 9 là:
 y  9 x  14
A. 
.
 y  9 x  18

 y  9 x  15
B. 
.
 y  9 x  11

 y  9x  1
C. 
.
 y  9x  4

 y  9x  8
D. 
.
 y  9x  5

Hƣớng dẫn giải
Ta có y  3×2  3, k  y  x0   9  3×0 2  3  9  x02  4  x0   2 .
+

Với x0  2  y0  4 ta có tiếp điểm M  2; 4  .
Phương trình tiếp tuyến tại M là: y  9  x  2  4  y  9 x  14 .

+

Với x0  2  y0  0 ta có tiếp điểm N  2;0  .
Phương trình tiếp tuyến tại N là: y  9  x  2   0  y  9 x  18 .

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y  9 x  14 và y  9 x  18 .
 Sử dụng máy tính:
+

Với x0  2 ta nhập 9   X   X 3  3 X 2  2

CALC

X  2 nhấn dấu 

ta được 14  y  9 x 14.
+

Với x0  2 ta nhập 9   X   X 3  3 X 2  2

CALC

X  2 nhấn dấu 

ta được 18  y  9 x  18.
2x 1
 Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến song
x2
song với đường thẳng có phương trình  : 3x  y  2  0 .

Ví dụ 2. Cho hàm số  C  : y 

A. y  3x  14.
Hƣớng dẫn giải

B. y  3x  2.

C. y  3x  5.

D. y  3x  8.

Ta có y ‘ 
nên k 

+

3

 x  2 2
3

 x0  2 

2

,  : 3x  y  2  0  y  3x  2. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 

 x0  2  1
 x0  1
2
.
 3   x0  2   1  

 x0  2  1  x0  3

Với x0  1 nhập 3   X  

2 X 1
X 2

CALC

X  1 nhấn dấu  ta được 2

 d1 : y  3x  2 ( loại do trùng với  ).

+

Với x0  3 CALC

X  3 nhấn dấu  ta được 14  d : y  3x  14 .

Vậy phương trình tiếp tuyến là d : y  3x  14 .
Dạng 3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x  biết tiếp tuyến đi
qua A  xA ; y A  .
Phƣơng pháp

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề
khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Cách 1.
o

Bƣớc 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A  xA ; y A  hệ số góc k có dạng:
d : y  k  x  xA   y A ()

o

Bƣớc 2: d là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 f  x   k  x  xA   y A
.



 f  x  k

o

Bƣớc 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (), ta được
tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2.
o

Bƣớc 1. Gọi M  x0 ; f  x0   là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến
k  y  x0   f   x0  theo x0 .

o

Bƣớc 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y  y  x0 .  x  x0   y0 ()

Do điểm A  xA ; y A   d nên yA  y  x0 .  xA  x0   y0 giải phương trình này sẽ tìm
được x0 .
o

Bƣớc 3. Thế x0 vào () ta được tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc tính toán tương đối mất thời
gian. Ta có thể sử dụng máy tính thay các đáp án:
Cho f  x  bằng kết quả các đáp án. Vào MODE  5  4 nhập hệ số phương trình. Thông
thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án
đó.
Ví dụ minh họa:

Ví dụ. Cho hàm số  C  : y  4 x3  3x  1. Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến
đi qua điểm A  1; 2  .
 y  9 x  7
A. 
.
y  2

 y  4x  2
B. 
.
 y  x 1

y  x 7
C. 
.
 y  3x  5

 y  x  5
D. 
.
 y  2x  2

Hƣớng dẫn giải
Ta có: y’  12×2  3 .
+

Gọi d là phương trình tiếp tuyến của  C  đi qua A  1; 2  với hệ số góc k có phương

trình là: d : y  k  x  1  2 .
+

d là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3

4 x  3x  1  k  x  1  2

2

12 x  3  k

1
 2

Thay k từ  2  vào 1 ta được 4 x3  3x  1   12 x 2  3  x  1  2
 x  1
1
2

 8 x  12 x  4  0   x    x  1  0  
x  1 .
2

2

3

2

+

Với x  1  k  9. Phương trình tiếp tuyến là: y  9 x  7.

+

Với x 

1
 k  0. Phương trình tiếp tuyến là: y  2.
2

Dạng 4. Viết phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số  C1  : y  f  x  và

 C2  : y  g  x  .
Phƣơng pháp
o

Bƣớc 1. Gọi d tiếp tuyến chung của  C1 ,  C2  và x0 là hoành độ tiếp điểm của

d và  C1  thì phương trình d có dạng:
y  f   x0 .  x  x0   f  x0  ***

o

Bƣớc 2. Dùng điều kiện tiếp xúc của d và  C2 , tìm được x0 .

o

Bƣớc 3. Thế x0 vào *** ta được tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ minh họa:
Ví dụ. Cho hai hàm số:

 C1  : y  f  x   2

x, x  0 và  C2  : y  g  x  

1
8  x 2,  8  x  8.
2

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số là:
A. y 

1
x  2.
2

B. y 

1
x  1.
2

C. y 

1
x  5.
2

D. y 

1
x  3.
2

Hƣớng dẫn giải
+

Gọi d là phương trình tiếp tuyến chung của  C1 ,  C2  và x0 là hoành độ tiếp điểm của

d với  C1  thì phương trình d là:
y  f   x  x  x0   y0 

+

d tiếp xúc với  C2 

1
 x  x0   2 x0
x0

x
1
2
 2 8  x  x  x0
0
khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
1
 x


2
2 8 x
x0


1
 2

Thay  2  vào 1 ta được phương trình hoành độ tiếp điểm của d và  C2  .
 8  x  8
 8  x  8


1
x
2 8 x

2
8 x  

 x  0
 x  0
 x  2.
2
2
x
2 8 x

 x2  2 x  8  0

2
3
2


 x 8  x    x  4 8  x 
2

2

Thay x  2 vào  2  ta được

1
1
  x0  4.
x0 2

Vậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm là: y 

1
x2.
2

Bài toán 2: Một số công thức nhanh và tính chất cần biết.
ax  b
cx  d

d


 c  0, x    có đồ thị  C . Phương trình tiếp tuyến
c

 tại M thuộc  C  và I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Ta luôn có:

Bài toán 2.1: Cho hàm số y 

(I).

Nếu   IM thì chỉ tồn tại 2 điểm M thuộc 2 nhánh của đồ thị  C  đối xứng qua I
và xM 

(II).

 ad  bc  d
c

.

M luôn là trung điểm của AB (với A, B là giao điểm của  với 2 tiệm cận).
bc  ad
.
c2

(III).

Diện tích tam giác IAB không đổi với mọi điểm M và SIAB  2

(IV).

Nếu E, F thuộc 2 nhánh của đồ thị  C  và E, F đối xứng qua I thì tiếp tuyến tại

E, F song song với nhau. (suy ra một đường thẳng d đi qua E, F thì đi qua tâm I ).
Chứng minh:
ad  bc

 d a
; I   ;  là giao điểm của 2 tiệm cận.
 c c



Ta có: y 




a x b 
d

Gọi M  xM ; M
  (C )  xM   . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
cxM  d 
c


: y 

 cx  d 

2

ax  b
ad  bc
.
( x  xM )  M
2
(c xM  d )
cxM  d

Chứng minh (I):


uuur 
d
bc  ad  r 
ad  bc 


;
IM  xM  ;
u
1;


2



c

c
cx

d


cx

d


M


M



uuur r
d
bc  ad
ad  bc
  IM  IM. u   0  xM  
.
0
c c  cxM  d   cxM  d 2

Đăng ký mua file

word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851


 cxM  d    ad  bc 

3
c  cxM  d 
4

2

 0  xM 

 ad  bc  d
c

.



Cách nhớ:

cxM  d
14 2 43



mẫ
u sốcủ
a hà
m số

ad  bc
1 4 2 43
tửsốcủ
a đạo hà
m

Chứng minh (II):


d a

Giao điểm của  với tiệm cận ngang là: A  2 xM  ;  .
c c




 d ac xM  2bc  ad 
Giao điểm của  với tiệm cận đứng là: B   ;
.
 c
c  c xM  d  




d d

 xA  xB  2 xM  c  c  2 xM
Xét 
.
axM  b
a ac xM  2bc  ad
 y A  yB  
 2.
 2 yM
c
c  c xM  d 
cxM  d




Vậy M ln là trung điểm của AB .

Chứng minh (III):


uur  2  cxM  d  
uur  2  bc  ad  
IA 
; c  và IB  0;
.
 c  c x  d  

c
M







 IAB vng tại I
 SIAB 



bc  ad
1 uuur uuur 1 2  cxM  d  2  bc  ad 
IA. IB  .
.
2
 hằng số.
2
2
c
c  c xM  d 
c2

Vậy diện tích  IAB khơng đổi với mọi điểm M .

Chứng minh (IV):



 2d
a x b 
d
2a axE  b 

 xE ;

Gọi E  xE ; E
  (C )  xE     F  

cxE  d 
c
c cxE  d 


 c
( E, F đối xứng qua I ).



Phương trình tiếp tuyến tại E có hệ số góc: k E 



Phương trình tiếp tuyến tại F có hệ số góc:
kF 



ad  bc
  2d


c   c  xE   d 

 


2



ad  bc

 2d  cxE  d 

2



ad  bc

 cxE  d 

2

ad  bc

 d  cxE 

2

(1) .



ad  bc

 cxE  d 

2

(2) .

Từ (1, 2) suy ra kE  kF .

ax  b
có đồ thị là  C ,  c  0, ad  bc  0  .Gọi điểm
cx  d
trên  C , biết tiếp tuyến của  C  tại điểm M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

Bài tốn 2.2: Cho hàm số: y 
M  x 0 ; y0 

A, B sao cho OA  n.OB .

Khi đó x0 thoả: cx0  d   n. ad  bc .

Hướng dẫn giải:






Xét hàm số y 

ad  bc
ax  b
,  c  0, ad  bc  0 . Ta có y ‘ 
2
cx  d
 cx  d 


ax  b 
Gọi M  x 0 ; 0
   C  là điểm cần tìm. Gọi  tiếp tuyến với  C  tại M ta có
cx0  d 

ax  b
ax  b
ad  bc
y
( x  x0 )  0
phương trình.  : y  f ‘ ( x0 )( x  x0 )  0
.
2

cx0  d
cx0  d
 cx0  d 

 acx02  2bcx0  bd 
Gọi A    Ox  A  
;0  .
ad  bc


 acx 2  2bcx  bd 
0
0
B    Oy  B  0;
.
2


cx

d


0





Ta có

acx02  2bcx0  bd
acx02  2bcx0  bd
OA 

ad  bc
ad  bc
OB 

acx02  2bcx0  bd

 cx0  d 

2



acx02  2bcx0  bd

 cx0  d 

2

(vì A, B không trùng O nên acx02  2bcx0  bd  0 ).


Ta có
OA  n.OB 


acx02  2bcx0  bd
ad  bc

 n.

acx02  2bcx0  bd

 cx0  d 

2

1
1
2
 n.
  cx0  d   n. ad  bc  cx0  d   n. ad  bc .
2
ad  bc
 cx0  d 

Các em bắt đầu theo dõi phần trắc nghiệm ở dưới nhé. Bắt đầu làm từ bài dễ đến bài khó.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
I. NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  1 tại điểm A  3;1 là
A. y  9 x  26 .

B. y  9 x  26 .

C. y  9 x  3 .

D. y  9 x  2 .

Hƣớng dẫn giải: Tính y ‘  3x 2  6 x  y ‘  3  9  pttt : y  9 x  26 .

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  4 x 2  1 tại điểm B 1; 2  là
A. y  4 x  2 .

B. y  4 x  2 .

C. y  4 x  6 .

D. y  4 x  6 .

Hướng dẫn giải: Tính y ‘  4 x 3  8x  y ‘ 1  4  pttt : y  4 x  2 .
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
A. y  2 x  7 .

B. y  2 x  7 .

Hướng dẫn giải: Tính y ‘ 

2

 x  1

2

x 1

tại điểm C  2;3 là
x 1

C. y  2 x  1 .

D. y  2 x  1 .

 y ‘  2   2  pttt : y  2 x  7 .

Câu 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x 3  3x  2 tại điểm D có hoành độ bằng 2 có phương
trình là
A. y  9 x  14 .

B. y  9 x  14 .

C. y  9 x  22 .

D. y  9 x  22 .

Hướng dẫn giải:
Tính y0  y(2)  4 và y ‘  3x 2  3  y ‘  2   9  pttt : y  9 x  14 .
Câu 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x 4  8x 2 tại điểm E có hoành độ bằng -3 có phương
trình là
A. y  60 x  171 .

B. y  60 x  171 .

C. y  60 x  189.

D. y  60 x  189 .

Hướng dẫn giải:
Tính y0  y(3)  9 và y ‘  4 x 3  16 x  y ‘  3  60  pttt : y  60 x  171 .
Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

2x  1
tại điểm F có hoành độ bằng 2 có phương trình
x 1

là
A. y   x  5

B. y  x  5 .

Hướng
y0  y (2)  3 và y ‘ 

dẫn
1

 x  1

2

C. y   x  1 .
giải:

D. y  x  1 .
Tính

 y ‘  2   1  pttt : y   x  5 .

Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2 x 3  3x 2 tại điểm G có tung độ bằng 5 có phương
trình là

A. y  12 x  7 .

B. y  12 x  7 .

C. y  12 x  17 .

D. y  12 x  17 .

Hướng dẫn giải: Giải pt:

2 x03  3×02  5  x0  1 và y ‘  6 x 2  6 x  y ‘ 1  12  pttt : y  12 x  7 .
Câu 8. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  3 tại điểm H có tung độ bằng 21 có phương
trình là
 y  40 x  59
A. 
.
 y  40 x  101

 y  40 x  101
B. 
.
 y  40 x  59

 y  40 x  59

C. 
.
 y  40 x  101

 y  40 x  59
D. 
.
 y  40 x  101

Hướng dẫn giải: Giải pt:

 y ‘  2   40
 x0  2
 y  40 x  59
x04  2 x02  3  21  
và y ‘  4 x3  4 x  
.
 pttt : 
 y  40 x  101
 y ‘  2   40
 x0  2
Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
1
8
A. y   x  .
5
5

x2
tại điểm I có tung độ bằng 1 có phương trình là

2x  1

1
2
B. y   x  .
5
5

C. y 

1
8
x .
5
5

D. y 

1
2
x .
5
5

Hướng dẫn giải: Giải pt:
x0  2
5
1
1
8

 1  x0  3 và y ‘ 
 y ‘  3 
 pttt : y   x  .
2
2 x0  1
5
5
5
 2 x  1

Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  2 có hệ số góc bằng k = -3 có phương trình
là
A. y  3x  1 .

B. y  3x  7 .

C. y  3x  1 .

D. y  3x  7 .

Hướng dẫn giải: Giải pt:

y ‘  x0   3  3×02  6 x0  3  0  x0  1  y 1  4  pttt : y  3x  1 .
Câu 11. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  

1 4
x  2 x 2 có hệ số góc bằng k  48 có phương
4

trình là

A. y  48x  160. B. y  48x  192 .
Hướng dẫn giải:

C. y  48x  160 .

D. y  48x  192 .

pt: y ‘  x0   48   x03  4 x0  48  0  x0  4  y  4   32  pttt : y  48x  160 .
Câu 12. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

x3
biết tiếp tuyến có hệ số góc
1 x

bằng 4.

 y  4x  3
A. 
.
 y  4 x  13

 y  4x  3
B. 
.
 y  4 x  13

 y  4x  3
C. 
.

 y  4 x  13

 y  4x  3
D. 
.
 y  4 x  13

Hướng dẫn giải:
Giải pt: y ‘  x0   4 

4

1  x0 

2

 x0  0  y  0   3  pttt : y  4 x  3
.
4
 x0  2  y  2   5  pttt : y  4 x  13

Câu 13. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y   x 3  2 x 2 mà song song với đường
thẳng y  x ?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải: Giải pt:

 x0  1  y 1  1  pttt : y  x (trùng)
y ‘  x0   1  3x  4 x0  1  0  
1
4 .
1 5
x0   y   
 pttt : y  x 

3
27
 3  27
2
0

Câu 14. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  36 x  5 của đồ thị hàm số y  x 4  x 2  2
có phương trình là
A. y  36 x  54. B. y  36 x  54 .

C. y  36 x  90 .

D. y  36 x  90 .

Hướng dẫn giải:
pt: y ‘  x0   36  4 x03  2 x0  36  0  x0  2  y  2   18  pttt : y  36 x  54 .
Câu 15. Cho hàm y 

x  5

có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp
x2

1
5
tuyến đó song song với đường thẳng d : y   x 
7
7
1
23
A. y   x  .
7
7

1
5

y   7 x  7
B. 
.
 y   1 x  23

7
7

1
5

y   7 x   7

D. 
.
 y   1 x  23

7
7

1
23
C. y   x  .
7
7

Hƣớng dẫn giải:

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên
đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

pt: y ‘  x0   

1
7

2
7

 x0  2 

1
5

x0  5  y  5  0  pttt : y   x  ( trùng )

1
7
7


.
7
 x  9  y  9   2  pttt : y   1 x  23
 0
7
7

Câu 16. Cho hàm y  2 x 3  3x  1 có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) và vuông góc với
đường thẳng x  21y  2  0 có phương trình là
 y  21x  33
A. 
.
 y  21x  31

 y  21x  33
B. 
.
 y  21x  31

1

 y  21 x  33
C. 
.
 y  1 x  31

21

1

 y  21 x  33
D. 
.
 y  1 x  31

21

Hướng dẫn giải: Giải pt:

 pttt : y  21x  33
 x0  2  y  2   9
y ‘  x0   21  
.
 x0  2  y  2   11  pttt : y  21x  31
Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x 4  2 x 2  3 và vuông góc với đường thẳng
x  8 y  2017  0 có phương trình là

A. y  8 x  8 .

B. y  8 x  8 .

1
C. y   x  8 .
8

D. y 

1
x 8.
8

Hướng dẫn giải: giải pt: y ‘  x0   8  x0  1  y 1  0  pttt : y  8 x  8 .

Câu 18. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

2x  2
biết tiếp tuyến vuông góc với
x2

đường thẳng y = – 6x +1 là

1
1

y  6 x  3
A. 
.

1
y  x 1

6

B. y 

1
1

y   6 x  3
C. 
.
1
y   x 1

6

1
x  1.
6

D. y 

1
1
x .
6
3

Hướng dẫn giải: giải pt:

 x0  4  y  4   1
1
y ‘  x0    
6
 x  8  y  8   3
 0

1
1
x
6
3
.
1
5
 pttt : y  x 
6
3
 pttt : y 

Câu 19. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  4 x 2 tại giao điểm với trục Ox ?
A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Hướng dẫn giải: Ta giải phương trình

 x  0  y ‘(0)  0  pttt : y  0
x  4 x  0   x  2  y ‘(2)  16  pttt : y  16 x  32
.

 x  2  y ‘( 2)  16  pttt : y  16 x  32
4

2

Câu 20. Cho hàm số y   x 3  3x  2 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của
(C) với trục hoành có phương trình là
 y0
A. 
. B. y  9 x  18 .
 y  9 x  18

C. y  9 x  18 .

 y0
D. 
.
 y  9 x  18

Hướng dẫn giải: Ta giải phương trình
 pttt : y  0
 x  1  y ‘(1)  0
 x 3  3x  2  0  

.
 x  2  y ‘( 2)  9  pttt : y  9 x  18

Câu 21. Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y 

x 5
tại giao điểm A của (C) và
x  1

trục hoành. Khi đó, phương trình của đường thẳng (d) là
A. y  

1
5
x .
4
4

B. y  

1
5
x .
4
4

C. y 

1
5

x .
4
4

Hướng dẫn giải: Ta giải phương trình
x 5
1
1
5
 0  x  5  y ‘(5)    pttt : y   x  .
x  1
4
4
4

D. y 

1
5
x .
4
4

Câu 22. Tại giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y  2 x 3  6 x  1 và trục Oy ta lập được tiếp
tuyến có phương trình là
A. y  6 x  1 .

B. y  6 x  1 .

C. y  6 x  1 .

D. y  6 x  1 .

Hướng dẫn giải:
Ta có giao điểm của (C) và Oy là: A  0;1  y ‘(0)  6  pttt : y  6 x  1 .
Câu 23. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  

1 4
x  3x 2  2 tại điểm M là
4

giao của (C) và trục tung là
A. y  2 .

B. y  2 .

 y  2
C. 
.
y

2


 y  2
D. 
.
y


0


Hướng dẫn giải:
Ta có giao điểm của (C) và Oy là: M  0; 2   y ‘(0)  0  pttt : y  2 .
Câu 24. Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y 

2x  1
tại giao điểm A của (C) và
x3

trục tung. Khi đó, phương trình của đường thẳng (d) là
7
1
A. y   x  .
9
3

7
1
B. y   x  .
9
3

C. y 

7
1
x .
9

3

D. y 

7
1
x .
9
3

Hướng dẫn giải:
1
7
7
1

Ta có giao điểm của (C) và Oy là: A  0;    y ‘(0)    pttt : y   x  .
3
9
9
3


Câu 25. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) : y 

x3
 2 x 2  3x  1 song song với
3

đường thẳng y  3x  2016 là

2

y  3x 

A.
3.

 y  3x  8

2

y  3x 

B.
3.

 y  3x  8

 y  3x  8
C. 
.
 y  3x  2
3


7

x0  1  y 1 

3

Hƣớng dẫn giải: Ta giải pt: y ‘  x0   3 

 x0  3  y  3  1

Câu 26. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y 

2

y  3x 

D.
3.

 y  3x  8

2
3.
 pttt : y  3x  8

 pttt : y  3x 

x3
 2 x 2  3x  5 là
3

A. Song song với trục hoành.

B. Song song với đường thẳng x  1 .

C. Có hệ số góc dương.

D. Có hệ số góc bằng 1 .

Hƣớng dẫn giải:
é
– 11
êx0 = 1 Þ y (1) =
3
Ta giải pt: y ‘ = 0 Û ê
.
ê
êëx0 = 3 Þ y (3) = – 5 Þ y ‘(3) = 0 Þ tt song song Ox

Câu 27. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 

2x
tại điểm có tung độ bằng 3 là
x 1

A. x  2 y  9  0 .

B. x  y  8  0 .

C. 2 x  y  9  0 .

D. x  2 y  7  0 .

Hƣớng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có: y0  3  x0  3 và y ‘(3)  

1
 pttt : x  2 y 9  0 .
2

Cho đường cong (C ) : y  x 3  3x 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm thuộc (C ) và

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên
đề khối 10,11,12:

có hoành độ x 0  1.

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Câu 28.
A. y  9x  5 .

B. y  9x  5 .

C. y  9x  5 .

D. y  9 x  5 .

Hƣớng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có: x0  1  y0  4 và y ‘(1)  9  pttt : y  9 x  5 .
Câu 29. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  3x 3  x 2  7 x  1 tại điểm A(0;1) là
A. y  7x  1.

B. y  x  1.

C. y  1 .

D. y = 0.

Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có: x0  0  y0  1 và y ‘(0)  7  pttt : y  7 x  1 .

Câu 30. Cho hàm số y  x 3  3x 2  1 (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
điểm có hoành độ bằng 5 là
A. y  45x  174 .

B. y  45x  174 .

C. y  45x  276 .

D. y  45x  276 .

Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có: x0  5  y0  51 và y ‘(5)  45  pttt : y  45x  174 .

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI
II. CÂU HỎI VẬN DỤNG THẤP
Câu 31. Cho hàm số y  x 3  3x 2  6 x  1 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp
tuyến có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là
A. y  3x  2 .
B. y  3x  2 .
C. y  3x  8 .

D. y  3x  8 .
Hƣớng dẫn giải
Ta có y,  3x 2  6 x  6  3( x  1)2  3  3  min y,  3 khi x  x0  1  y0  y(1)  5
Khi đó phương trình tiếp tuyến y  3( x  1)  5  3x  2 .
Câu 32. Cho hàm số y   x 3  6 x 2  3x  1 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp
tuyến có hệ số góc lớn nhất có phương trình là:
A. y  15x  55 .
B. y  15x  5 .

C. y  15x  5 .

D. y  15x  55 .

Hƣớng dẫn giải
Ta có:

y,  3x 2  12 x  3  3( x  2)2  15  15  max y,  15

khi

x  x0  2

 y0  y(2)  25 .
Khi đó phương trình tiếp tuyến y  15( x  2)  25  15x  55 .
Câu 33. Cho hàm số y  x 3  x  1 có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Trên (C) tồn tại hai điểm A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại A và
B vuông góc.
B. Hàm số luôn đồng biến trên ¡ .
C. Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có phương trình là y  4 x  1 .
D. Đồ thị (C) chỉ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Hƣớng dẫn giải
[Phƣơng pháp tự luận]

,
2

 y ( x )  3×1  1  0
Ta có: y,  3x 2  1  0  , 1
 y. ( x1 ). y, ( x2 )  0
2

 y ( x2 )  3×2  1  0

hay y. ( x1 ). y, ( x2 )  1. Suy ra 2 tiếp tuyến A và B không vuông góc.
[Phƣơng pháp trắc nghiệm]
Ta có y,  3x 2  1  0, x  R
Suy ra hàm số đồng biến trên ¡ và cắt trục hoành tại một điểm duy nhất  B, D đúng.
Với

x0  1  y, (1)  4, y0  3 

phương

trình

tiếp

tuyến

y  4( x  1)  3

 y  4 x  1  C đúng.

Câu 34. Đường thẳng y  ax  b tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 3  2 x 2  x  2 tại điểm
M(1;0). Khi đó ta có:
A. ab  36 .
B. ab  6 .
C. ab  36 .
D. ab  5 .
Hƣớng dẫn giải
Ta có y,  3x 2  4 x  1  y, (1)  6 .
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M(1;0) là:
a  6
y  6( x  1)  y  6 x  6  
 ab  36 .
b  6
Câu 35. Cho hàm số y  x 3  x 2  2 x  5 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến

có hệ số góc nhỏ nhất, thì hệ số góc của tiếp tuyến đó là
5
A. .
3

B.

2
.
3

C.

4
.
3

D.

1
.
3

Hƣớng dẫn giải
2

Ta có y,  3x 2  2 x  2  3( x 2 

2
1 5
1 5 5
5

khi
x  )   3  x      min y, 
3
9 3
3 3 3
3


1
x  x0  .
3

Câu 36. Cho hàm số y 

3x
có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành góc 600 có
x 1

phương trình là

 y   3x  4 3
A. 
.
 y   3x

 y  3x  4 3
B. 
.
 y  3x

 y   3x  4 3
C. 
.
 y  3x

 y   3x  4 3
D. 
.

 y   3x

Hƣớng dẫn giải

Ta có y, 

 3
 0, x  1. Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) tạo với Ox góc 600
2
( x  1)

y 0
 y, ( x0 )   tan 60 0   3 
 y, ( x0 )   3 
,

 3
  3  ( x0  1)2  1
2
( x0  1)

 y   3x  4 3
 x  2  y0  2 3
.
 0

 x0  0  y0  0
 y   3x
Câu 37. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m  1) x  1 (1), m là tham số. Kí hiệu (Cm ) là đồ thị

hàm số (1) và K là điểm thuộc (Cm ), có hoành độ bằng 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để tiếp tuyến của (Cm ) tại điểm K song song với đường thẳng d : 3x  y  0 .
A. m  .

B. m  1 .

1
D. m   .
3

1
C. m  1 hoặc m   .
3

Hƣớng dẫn giải
Ta có y,  3x 2  6mx  3(m  1). Do K  (Cm ) và có hoành độ bằng -1, suy ra

K  1; 6m  3 .
Khi đó tiếp tuyến tại K có phương trình:
 : y  y, (1)( x  1)  6m  3   : y  (9m  6) x  3m  3

Đăng ký mua file word
trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:

Đường thẳng  song song với đường thẳng d

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

9m  6  3 m  1
 3x  y  0  y  3x  

 m  .
3
m

3

0
m


1


1 2
mx  m  1 có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có
2
hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x  3 y  1  0. Khi đó giá của m

Câu 38. Cho hàm số y  x 4 
là
A. m  1 .

B. m  0 .

C. m  

13

.
3

D. m  

11
.
3

Hƣớng dẫn giải
Ta có: y ‘  4 x 3  mx và đường thẳng x  3 y  1  0 viết thành y 

1
1
x .
3
3

Theo bài ra ta có: y ‘  1  3  4  m  3  m  1 .
Câu 39. Cho hàm số y  2 x  1 có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến d của đồ thị (C) vuông góc với
đường thẳng y  3x  2017. Hỏi hoành độ tiếp điểm của d và (C) là bao nhiêu ?
A. 4.

4
C.  .
9

B. 1.

D. – 4.

Hƣớng dẫn giải
1
Ta có: y ‘ 
. Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của d và (C).
2x  1
Theo bài ra ta có: y ‘  x0  

1
1
1

  2 x0  1  9  x0  4
3
2 x0  1 3

Câu 40. Cho hàm số y  3x  4 x 3 có đồ thị (C). Từ điểm M 1;3 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp
tuyến với đồ thị hàm số (C) ?
A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Hƣớng dẫn giải
Đường thẳng đi qua M 1;3 có hệ số góc k có dạng: y  k  x  1  3

d  .

Điều kiện để  d  là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3

3x  4 x  k  x  1  3 1
. Thay (2) vào (1) ta được:

2
3

12
x

k
2





x  0
k  3
3x  4 x   3  12 x   x  1  3  8 x  12 x  0  
3
x 
 k  24
2

3

2

3

2

Vậy có 2 tiếp tuyến.
Câu 41. Cho hàm số y  x 3  x  2 có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N 1; 4  của (C) cắt đồ thị
(C) tại điểm thứ hai là M. Khi đó tọa độ điểm M là
A. M  2; 8 .

B. M  1;0  .

C. M  0; 2  .

D. M  2;12  .

Hƣớng dẫn giải
[Phƣơng pháp tự luận]
Ta có y ‘  3x 2  1  y ‘ 1  4, suy ra tiếp tuyến tại N 1; 4  là:  : y  4 x .
Phương trình hoành độ giao điểm của  và (C) là:

x  1
.
x 3  x  2  4 x  x 3  3x  2  0  
 x  2  y  8

[Phƣơng pháp trắc nghiệm]

b
2 xN  xM   (Với y  ax 3  bx 2  cx  d là hàm số ban đầu)
a

 2  xM  0  xM  2  M  2; 8 .
Câu 42. Cho hàm số y  x 3  x 2  x  1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N của (C) cắt đồ thị
(C) tại điểm thứ hai là M  1; 2 . Khi đó tọa độ điểm N là
B.  2;5 .

A. 1; 2  .

C.  1; 4  .

D.  0;1 .

Hƣớng dẫn giải
[Phƣơng pháp tự luận]
Đường thẳng  đi qua điểm M  1; 2  có hệ số góc k có dạng

 : y  k  x  1  2 .
 là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3
2

 x  x  x  1  k  x  1  2 1
. Thay (2) vào (1) ta được:
 2
 2

3x  2 x  1  k

 x  1
2
x3  x 2  x  1   3x 2  2 x  1  x  1  2   x  1  x  1  0  
x  1 y  2

 N 1; 2  .
[Phƣơng pháp trắc nghiệm]
2 x N  xM  

b
(Với y  ax 3  bx 2  cx  d là hàm số ban đầu)
a

 2 xN  (1)  1  xN  1  N 1; 2  .
Câu 43. Cho hàm số y  x 3  3mx 2   m  1 x  1 có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 đi qua A 1;3 ?
1
7
7
1
.
B. m  .
C. m   .
D. m   .
2
9
9
2
Hƣớng dẫn giải

Ta có: y ‘  3x 2  6mx  m  1. Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập.

A. m 


 y ‘  1  4  5m
Khi đó x0  1  
suy ra phương trình tiếp tuyến là:

 y0  2 m  1

 : y   4  5m  x  1  2m  1
Do A 1;3    3   4  5m 1  1  2m  1  m 

1
.
2

xm
có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thi tiếp tuyến của (C) tại
x 1
điểm có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng y  3x  1 .

Câu 44. Cho hàm số y 
A. m  2 .

B. m  1 .

C. m  2 .

Hƣớng dẫn giải
Ta có: y ‘ 

1 m

 x  1

2

khi đó y ‘  0  3  1  m  3  m  2 .

D. m  3 .

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO
x
có đồ thị (C) và gốc tọa độ O. Gọi  là tiếp tuyến của (C), biết
x 1
 cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân. Phương
trình  là
A. y  x  4.
B. y  x  1 .
C. y  x  4 .
D. y  x .

Câu 45. Cho hàm số y 

Hƣớng dẫn giải
Ta có y ‘ 

1

 x  1

2

 0, x  1. Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập.

Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB, suy ra
y ‘ 0
y ‘  x0   1 
 y ‘  x0   1 

1

 x0  1

2

 x0  0
.
1 
 x0  2

 Với x0  0  y0  0 ( Loại do M  0;0   O ).
 Với x0  2  y0  2, suy ra phương trình tiếp tuyến  : y  x  4 .
Câu 46. Cho hàm số y   x 4  x 2  6 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt các trục Ox,
Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OB = 36OA có phương trình là
 y  36 x  58

A. 
.
 y  36 x  58
 x  36 y  4  0
C. 
.
 x  36 y  4  0

 y  36 x  86
B. 
.
 y  36 x  86
 x  36 y  14  0
D. 
.
 x  36 y  14  0

Hƣớng dẫn giải
Do

OB
 36  y, ( x0 )  36 .
OA

 Với y, ( x0 )  36  4 x3  2 x0  36  4 x03  2 x0  36  0  x0  2

 y0  y(2)  14. Suy ra tiếp tuyến y = -36x + 58.
 Với y, ( x0 )  36  4 x3  2 x0  36  4 x03  2 x0  36  0  x0  2

 y0  y(2)  14. Suy ra tiếp tuyến y = 36x + 58.

Câu 47. Cho hàm số y 

x 1
có đồ thị là  C . Gọi điểm M  x 0 ; y0  với x0  1 là điểm
2  x  1

thuộc  C , biết tiếp tuyến của  C  tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân
biệt A, B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : 4 x  y  0. Hỏi giá trị của

x0  2 y0 bằng bao nhiêu ?

7
A.  .
2

B.

7
.
2

C.

5
.
2

5
D.  .

2

Hƣớng dẫn giải

x 1 
 Gọi M  x 0 ; 0
   C  là điểm cần tìm.

2  x0  1 

 Gọi  tiếp tuyến của  C  tại M ta có phương trình.
 : y  f ‘ ( x0 )( x  x0 ) 

x0  1
x 1
1
y
( x  x0 )  0
2
2( x0  1)
2( x0  1)
 x0  1

 x 2  2 x0  1 
 x 2  2 x0  1 
; 0  và B    Oy  B  0; 0
 Gọi A    Ox  A   0
.
2 
2



 2( x0  1) 
 Khi đó  tạo với hai trục tọa độ  OAB có trọng tâm là:

 x 2  2 x0  1 x02  2 x0  1 
G 0
;
.
2 
6
6(
x

1)
0


 Do G  đường thẳng: 4 x  y  0  4.

4

1

 x0  1

2

x02  2 x0  1 x02  2 x0  1


0
6
6( x0  1)2

(vì A, B không trùng O nên x02  2 x0  1  0 )

1
1


 x0  1  2
 x0   2
.


x  1   1
x   3
0
0
2
2



 Với x0  

1
1 3
 M ( ;  ) .
2

2 2

 Với x0  

3
3 5
 M ( ; ) .
2
2 2

1 3
7
Chọn M (  ;  )  x 0  2 y0   .
2 2
2

Câu 48. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m (1), m là tham số thực. Kí hiệu (C) là đồ thị
hàm số (1); d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách
3 
từ điểm B  ; 1 đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất.
4 

A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  2 .

D. m  2 .

Cho đường thẳng d : y  ax  b  a  0  ; d ‘ : y  a ‘ x  b ‘  a ‘  0 . Khi đó :  k  kd ‘  a  a ‘ d / / d ‘   d    b  b ‘  b  b ‘ d  d ‘  kd. kd ‘   1  a. a ‘   1. Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b  a  0  thì thông số góc của tiếptuyến là k  a. ( nhớ thử lại ). Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  b  a  0  thì thông số góc của tiếptuyến là k  . Trục hoành ( trục Ox ) : y  0. Trục tung ( trục Oy ) : x  0. B.KỸ NĂNG CƠ BẢNBài toán 1 : Các dạng phƣơng trình tiếp tuyến thƣờng gặp. Cho hàm số y  f  x , gọi đồ thị của hàm số là  C . Dạng 1. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x  tại M  xo ; yo . Phƣơng phápBƣớc 1. Tính đạo hàm y   f   x  thông số góc tiếp tuyến k  y   x0 . Bƣớc 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M  x0 ; y0  có dạng : d : y  y   x0   x  x0   y0. Chú ý : Nếu đề bài nhu yếu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì khi đóta tìm y0 bằng cách thế vào hàm số bắt đầu, tức y0  f  x0 . Nếu đề cho y0 tathay vào hàm số để giải ra x0. Nếu đề bài nhu yếu viết phương trình tiếp tuyến tại những giao điểm của đồ thị  C  : y  f  x  và đường thẳng d : y  ax  b. Khi đó những hoành độ tiếp điểm lànghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và  C .  Sử dụng máy tính : Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d : y  ax  b. Bƣớc 1 : Tìm thông số góc tiếp tuyến k  y   x0 . Nhậpnhấn SHIFT  f ( x )  x  x0dxbằng cáchW sau đó nhấn  ta được a. Bƣớc 2 : Sau đó nhân với  X liên tục nhấn phím   x  CALC X  xo nhấnphím  ta được b. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Cho hàm số  C  : y  x3  3 x 2. Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  1 ; 4  là : A. y  9 x  5. B. y  9 x  5. C. y   9 x  5. D. y   9 x  5. Hƣớng dẫn giảiTa có : y ‘  3 x 2  6 x  k  y   1   9. Phương trình tiếp tuyến tại M  1 ; 2  là : d : y  y ‘  x0   x  xo   yo  y  9  x  1   4  y  9 x  5.  Sử dụng máy tính :  X 3  3X 2  x  1 dxNhậpSau đó nhân với   X  nhấn dấu  ta được 9. nhấn dấu  X 3  3 X 2 CALC X  1 nhấn dấu  tađược  5. Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là : y  9 x  5. Ví dụ 2. Cho hàm số y   2 x3  6 x 2  5. Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M thuộc  C  và có hoành độ bằng 3. A. y   18 x  49. B. y   18 x  49. C. y  18 x  49. Hƣớng dẫn giảiTa có : y    6 x2  12 xx0  3  y0   5  M  3 ;  5   k  y   3    18. Phương trình tiếp tuyến tại M là : y   18  x  3   5  y   18 x  49. D. y  18 x  49.  Sử dụng máy tính :  2 X 3  6 X 2  5  x  3 dxNhậpSau đó nhân vớinhấn dấu  ta được  18.   X  nhấn dấu   2 X 3  6 X 2  5 CALC X  3 nhấn dấu  ta được 49. Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là : y   18 x  49.1 4 x  2 x 2. Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M cóhoành độ x0  0, biết y    xo    1 là : Ví dụ 3. Cho hàm số  C  : y  A. y   3 x . B. y   3 x  1. D. y   3 x . C. y   3 x  2. Hƣớng dẫn giảiTa có : y   x3  4 x, y    3 x 2  4. Mà y    xo    1  3×02  4   1  x0 2  1  x0  1 ( vì x0  0 ).  y0    k  y   1    3. Phương trình tiếp tuyến tại M là : d : y   3  x  1    y   3 x    Sử dụng máy tính : d  1 42  nhấn dấu  ta được  3.  X  2X  dx  4  x  1N hậpSau đó nhân vớiđược   X  nhấn dấu  1 4X  2X 2CALC X  1 nhấn dấu  taVậy phương trình tiếp tuyến là d : y   3 x   Dạng 2. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x  có thông số góc k chotrƣớc. Phƣơng phápBƣớc 1. Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm và tính y   f   x . Bƣớc 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k  f ‘  x0 . Giải phương trình này tìm được x0, thay vào hàm số được y0. Bƣớc 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được những tiếp tuyến tương ứng. d : y  y   x0   x  x0   y0Chú ý : Đề bài thường cho thông số góc tiếp tuyến dưới những dạng sau : Tiếp tuyến d / /  : y  ax  b  thông số góc của tiếp tuyến là k  a. Tiếp tuyến d   : y  ax  b  thông số góc của tiếp tuyến là k     Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc  thì thông số góc của tiếp tuyến d làk   tan .  Sử dụng máy tính : Nhập : k   X   f  x  CALC X  x0 nhấn dấu  ta được b. Phương trình tiếp tuyến làd : y  kx  b. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Cho hàm số  C  : y  x3  3 x  2. Phương trình tiếp tuyến của  C  biết thông số góc củatiếp tuyến đó bằng 9 là :  y  9 x  14A.   y  9 x  18  y  9 x  15B.   y  9 x  11  y  9 x  1C.   y  9 x  4  y  9 x  8D.   y  9 x  5H ƣớng dẫn giảiTa có y   3×2  3, k  y   x0   9  3×0 2  3  9  x02  4  x0   2. Với x0  2  y0  4 ta có tiếp điểm M  2 ; 4 . Phương trình tiếp tuyến tại M là : y  9  x  2   4  y  9 x  14. Với x0   2  y0  0 ta có tiếp điểm N   2 ; 0 . Phương trình tiếp tuyến tại N là : y  9  x  2   0  y  9 x  18. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y  9 x  14 và y  9 x  18.  Sử dụng máy tính : Với x0  2 ta nhập 9   X   X 3  3 X 2  2CALCX  2 nhấn dấu  ta được  14  y  9 x  14. Với x0   2 ta nhập 9   X   X 3  3 X 2  2CALCX   2 nhấn dấu  ta được 18  y  9 x  18.2 x  1  Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến songx  2 tuy nhiên với đường thẳng có phương trình  : 3 x  y  2  0. Ví dụ 2. Cho hàm số  C  : y  A. y  3 x  14. Hƣớng dẫn giảiB. y  3 x  2. C. y  3 x  5. D. y  3 x  8. Ta có y ‘  nên k   x  2  2  x0  2 ,  : 3 x  y  2  0  y  3 x  2. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng   x0  2  1  x0   1  3   x0  2   1      x0  2   1  x0   3V ới x0   1 nhập 3   X   2 X  1X  2CALCX   1 nhấn dấu  ta được 2  d1 : y  3 x  2 ( loại do trùng với  ). Với x0   3 CALCX   3 nhấn dấu  ta được 14  d : y  3 x  14. Vậy phương trình tiếp tuyến là d : y  3 x  14. Dạng 3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x  biết tiếp tuyến điqua A  xA ; y A . Phƣơng phápĐăng ký mua file word trọn bộ chuyên đềkhối 10,11,12 : HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝSoạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu ” Gửi đến số điện thoại thông minh : 0969.912.851 Cách 1. Bƣớc 1 : Phương trình tiếp tuyến đi qua A  xA ; y A  thông số góc k có dạng : d : y  k  x  xA   y A (  ) Bƣớc 2 : d là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :  f  x   k  x  xA   y A  f   x   kBƣớc 3 : Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (  ), ta đượctiếp tuyến cần tìm. Cách 2. Bƣớc 1. Gọi M  x0 ; f  x0   là tiếp điểm và tính thông số góc tiếp tuyếnk  y   x0   f   x0  theo x0. Bƣớc 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng : d : y  y   x0 .  x  x0   y0 (   ) Do điểm A  xA ; y A   d nên yA  y   x0 .  xA  x0   y0 giải phương trình này sẽ tìmđược x0. Bƣớc 3. Thế x0 vào (   ) ta được tiếp tuyến cần tìm. Chú ý : Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc đo lường và thống kê tương đối mất thờigian. Ta hoàn toàn có thể sử dụng máy tính thay những đáp án : Cho f  x  bằng tác dụng những đáp án. Vào MODE  5  4 nhập thông số phương trình. Thôngthường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp ánđó. Ví dụ minh họa : Ví dụ. Cho hàm số  C  : y   4 x3  3 x  1. Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyếnđi qua điểm A   1 ; 2 .  y   9 x  7A.   y  2  y  4 x  2B.   y  x  1  y  x  7C.   y  3 x  5  y   x  5D.   y  2 x  2H ƣớng dẫn giảiTa có : y ‘   12×2  3. Gọi d là phương trình tiếp tuyến của  C  đi qua A   1 ; 2  với thông số góc k có phươngtrình là : d : y  k  x  1   2. d là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :   4 x  3 x  1  k  x  1   2   12 x  3  k  1   2  Thay k từ  2  vào  1  ta được  4 x3  3 x  1    12 x 2  3   x  1   2  x   11   8 x  12 x  4  0   x    x  1   0    x  1. 2  Với x   1  k   9. Phương trình tiếp tuyến là : y   9 x  7. Với x   k  0. Phương trình tiếp tuyến là : y  2. Dạng 4. Viết phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số  C1  : y  f  x  và  C2  : y  g  x . Phƣơng phápBƣớc 1. Gọi d tiếp tuyến chung của  C1 ,  C2  và x0 là hoành độ tiếp điểm củad và  C1  thì phương trình d có dạng : y  f   x0 .  x  x0   f  x0   * * *  Bƣớc 2. Dùng điều kiện kèm theo tiếp xúc của d và  C2 , tìm được x0. Bƣớc 3. Thế x0 vào  * * *  ta được tiếp tuyến cần tìm. Ví dụ minh họa : Ví dụ. Cho hai hàm số :  C1  : y  f  x   2 x, x  0 và  C2  : y  g  x   8  x 2,  8  x  8. Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số là : A. y  x  2. B. y  x  1. C. y  x  5. D. y  x  3. Hƣớng dẫn giảiGọi d là phương trình tiếp tuyến chung của  C1 ,  C2  và x0 là hoành độ tiếp điểm củad với  C1  thì phương trình d là : y  f   x   x  x0   y0  d tiếp xúc với  C2   x  x0   2 x0x0  1  2 8  x  x  x0khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :     x  2 8  xx0  1   2  Thay  2  vào  1  ta được phương trình hoành độ tiếp điểm của d và  C2 .   8  x  8   8  x  82 8  x8  x     x  0   x  0  x   2.2 8  x  x2  2 x  8  0  x  8  x    x  4  8  x  Thay x   2 vào  2  ta được   x0  4. x0 2V ậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm là : y  x  2. Bài toán 2 : Một số công thức nhanh và đặc thù cần biết. ax  bcx  dd   c  0, x    có đồ thị  C . Phương trình tiếp tuyếnc   tại M thuộc  C  và I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Ta luôn có : Bài toán 2.1 : Cho hàm số y  ( I ). Nếu   IM thì chỉ sống sót 2 điểm M thuộc 2 nhánh của đồ thị  C  đối xứng qua Ivà xM  ( II ).  ad  bc  dM luôn là trung điểm của AB ( với A, B là giao điểm của  với 2 tiệm cận ). bc  adc2 ( III ). Diện tích tam giác IAB không đổi với mọi điểm M và S  IAB  2 ( IV ). Nếu E, F thuộc 2 nhánh của đồ thị  C  và E, F đối xứng qua I thì tiếp tuyến tạiE, F song song với nhau. ( suy ra một đường thẳng d đi qua E, F thì đi qua tâm I ). Chứng minh : ad  bc  d a  ; I   ;  là giao điểm của 2 tiệm cận.  c c  Ta có : y   a x  b  d  Gọi M  xM ; M   ( C )  xM   . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng : cxM  d  c   : y   cx  d  ax  bad  bc ( x  xM )  M ( c xM  d ) cxM  dChứng minh ( I ) : uuur  bc  ad  r  ad  bc  IM  xM  ; 1 ;   cxcxuuur rbc  adad  bc   IM  IM. u   0  xM    0 c c  cxM  d   cxM  d  2 Đăng ký mua fileword trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12 : HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝSoạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu ” Gửi đến số điện thoại thông minh : 0969.912.851  cxM  d    ad  bc  c  cxM  d   0  xM   ad  bc  dCách nhớ : cxM  d14 2 43   mẫu sốcủa hàm sốad  bc1 4 2 43 tửsốcủa đạo hàChứng minh ( II ) : d a  Giao điểm của  với tiệm cận ngang là : A  2 xM  ; . c c   d ac xM  2 bc  ad  Giao điểm của  với tiệm cận đứng là : B   ; .  cc  c xM  d    d d   xA  xB  2 xM  c  c  2 xMXét  axM  ba ac xM  2 bc  ad  y A  yB    2.  2 yMc  c xM  d  cxM  d   Vậy M ln là trung điểm của AB. Chứng minh ( III ) : uur  2  cxM  d   uur  2  bc  ad   IA  ; c  và IB  0 ;  c  c x  d     IAB vng tại I  S  IAB  bc  ad1 uuur uuur 1 2  cxM  d  2  bc  ad  IA. IB .  2  hằng số. c  c xM  d  c2Vậy diện tích quy hoạnh  IAB khơng đổi với mọi điểm M. Chứng minh ( IV ) :  2 da x  b  d  2 a axE  b   xE ; Gọi E  xE ; E   ( C )  xE     F   cxE  d  c  c cxE  d   c ( E, F đối xứng qua I ). Phương trình tiếp tuyến tại E có thông số góc : k E  Phương trình tiếp tuyến tại F có thông số góc : kF  ad  bc   2 d  c   c  xE   d    ad  bc   2 d  cxE  d  ad  bc  cxE  d  ad  bc   d  cxE  ( 1 ). ad  bc  cxE  d  ( 2 ). Từ ( 1, 2 ) suy ra kE  kF. ax  bcó đồ thị là  C ,  c  0, ad  bc  0 . Gọi điểmcx  dtrên  C , biết tiếp tuyến của  C  tại điểm M cắt những trục Ox, Oy lần lượt tạiBài tốn 2.2 : Cho hàm số : y  M  x 0 ; y0  A, B sao cho OA  n. OB. Khi đó x0 thoả : cx0  d   n. ad  bc. Hướng dẫn giải : Xét hàm số y  ad  bcax  b,  c  0, ad  bc  0 . Ta có y ‘  cx  d  cx  d  ax  b  Gọi M  x 0 ; 0    C  là điểm cần tìm. Gọi  tiếp tuyến với  C  tại M ta cócx0  d  ax  bax  bad  bc  y  ( x  x0 )  0 phương trình.  : y  f ‘ ( x0 ) ( x  x0 )  0 cx0  dcx0  d  cx0  d   acx02  2 bcx0  bd  Gọi A    Ox  A   ; 0 . ad  bc  acx 2  2 bcx  bd  B    Oy  B  0 ; . cxTa cóacx02  2 bcx0  bdacx02  2 bcx0  bdOA  ad  bcad  bcOB  acx02  2 bcx0  bd  cx0  d  acx02  2 bcx0  bd  cx0  d  ( vì A, B không trùng O nên acx02  2 bcx0  bd  0 ). Ta cóOA  n. OB  acx02  2 bcx0  bdad  bc  n. acx02  2 bcx0  bd  cx0  d   n.   cx0  d   n. ad  bc  cx0  d   n. ad  bc. ad  bc  cx0  d  Các em khởi đầu theo dõi phần trắc nghiệm ở dưới nhé. Bắt đầu làm từ bài dễ đến bài khó. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG DẪN GIẢII. NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂUCâu 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  1 tại điểm A  3 ; 1  làA. y  9 x  26. B. y   9 x  26. C. y   9 x  3. D. y  9 x  2. Hƣớng dẫn giải : Tính y ‘  3 x 2  6 x  y ‘  3   9  pttt : y  9 x  26. Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  4 x 2  1 tại điểm B  1 ;  2  làA. y   4 x  2. B. y  4 x  2. C. y   4 x  6. D. y  4 x  6. Hướng dẫn giải : Tính y ‘  4 x 3  8 x  y ‘  1    4  pttt : y   4 x  2. Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  A. y  2 x  7. B. y   2 x  7. Hướng dẫn giải : Tính y ‘   x  1  x  1 tại điểm C   2 ; 3  làx  1C. y  2 x  1. D. y   2 x  1.  y ‘   2   2  pttt : y  2 x  7. Câu 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x 3  3 x  2 tại điểm D có hoành độ bằng 2 có phươngtrình làA. y   9 x  14. B. y  9 x  14. C. y   9 x  22. D. y  9 x  22. Hướng dẫn giải : Tính y0  y ( 2 )   4 và y ‘   3 x 2  3  y ‘  2    9  pttt : y   9 x  14. Câu 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x 4  8 x 2 tại điểm E có hoành độ bằng – 3 có phươngtrình làA. y  60 x  171. B. y   60 x  171. C. y  60 x  189. D. y   60 x  189. Hướng dẫn giải : Tính y0  y (  3 )   9 và y ‘   4 x 3  16 x  y ‘   3   60  pttt : y  60 x  171. Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2 x  1 tại điểm F có hoành độ bằng 2 có phương trìnhx  1 làA. y   x  5B. y  x  5. Hướngy0  y ( 2 )  3 và y ‘  dẫn  1  x  1  C. y   x  1. giải : D. y  x  1. Tính  y ‘  2    1  pttt : y   x  5. Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2 x 3  3 x 2 tại điểm G có tung độ bằng 5 có phươngtrình làA. y  12 x  7. B. y   12 x  7. C. y  12 x  17. D. y   12 x  17. Hướng dẫn giải : Giải pt : 2 x03  3×02  5  x0  1 và y ‘  6 x 2  6 x  y ‘  1   12  pttt : y  12 x  7. Câu 8. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  3 tại điểm H có tung độ bằng 21 có phươngtrình là  y  40 x  59A.   y   40 x  101  y  40 x  101B.   y   40 x  59  y  40 x  59C.   y   40 x  101  y   40 x  59D.   y  40 x  101H ướng dẫn giải : Giải pt :  y ‘  2   40  x0  2  y  40 x  59×04  2 x02  3  21   và y ‘  4 x3  4 x    pttt :   y   40 x  101   y ‘   2    40  x0   2C âu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  A. y   x . x  2 tại điểm I có tung độ bằng 1 có phương trình là2x  1B. y   x . C. y  x . D. y  x . Hướng dẫn giải : Giải pt : x0  2  5  1  1  x0  3 và y ‘   y ‘  3    pttt : y   x . 2 x0  1  2 x  1  Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  2 có thông số góc bằng k = – 3 có phương trìnhlàA. y   3 x  1. B. y   3 x  7. C. y   3 x  1. D. y   3 x  7. Hướng dẫn giải : Giải pt : y ‘  x0    3  3×02  6 x0  3  0  x0  1  y  1    4  pttt : y   3 x  1. Câu 11. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   1 4 x  2 x 2 có thông số góc bằng k   48 có phươngtrình làA. y   48 x  160. B. y   48 x  192. Hướng dẫn giải : C. y   48 x  160. D. y   48 x  192. pt : y ‘  x0    48   x03  4 x0  48  0  x0  4  y  4    32  pttt : y   48 x  160. Câu 12. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  3 biết tiếp tuyến có thông số góc1  xbằng 4.  y  4 x  3A.   y  4 x  13  y  4 x  3B.   y  4 x  13  y  4 x  3C.   y  4 x  13  y  4 x  3D.   y  4 x  13H ướng dẫn giải : Giải pt : y ‘  x0   4   1  x0   x0  0  y  0   3  pttt : y  4 x  3  4     x0  2  y  2    5  pttt : y  4 x  13C âu 13. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số : y   x 3  2 x 2 mà song song với đườngthẳng y  x ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải : Giải pt :  x0  1  y  1   1  pttt : y  x ( trùng ) y ‘  x0   1   3 x  4 x0  1  0    4.  1  5×0   y     pttt : y  x    27  3  27C âu 14. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y   36 x  5 của đồ thị hàm số y  x 4  x 2  2 có phương trình làA. y   36 x  54. B. y   36 x  54. C. y   36 x  90. D. y   36 x  90. Hướng dẫn giải : pt : y ‘  x0    36  4 x03  2 x0  36  0  x0   2  y   2   18  pttt : y   36 x  54. Câu 15. Cho hàm y   x  5 có đồ thị là ( C ). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) sao cho tiếpx  2 tuyến đó song song với đường thẳng d : y   x  23A. y   x .  y   7 x  7B.   y   1 x  23    y   7 x   7D.   y   1 x  23   23C. y   x . Hƣớng dẫn giải : Đăng ký mua file word trọn bộ chuyênđề khối 10,11,12 : HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝSoạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu ” Gửi đến số điện thoại thông minh : 0969.912.851 pt : y ‘  x0     7  x0  2  x0  5  y  5   0  pttt : y   x  ( trùng )  1    x   9  y   9    2  pttt : y   1 x  23   0C âu 16. Cho hàm y  2 x 3  3 x  1 có đồ thị là ( C ). Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) và vuông góc vớiđường thẳng x  21 y  2  0 có phương trình là  y  21 x  33A.   y  21 x  31  y   21 x  33B.   y   21 x  31  y  21 x  33C.   y  1 x  31   21  1  y  21 x  33D.   y   1 x  31   21H ướng dẫn giải : Giải pt :  pttt : y  21 x  33  x0  2  y  2   9 y ‘  x0   21     x0   2  y   2    11  pttt : y  21 x  31C âu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x 4  2 x 2  3 và vuông góc với đường thẳngx  8 y  2017  0 có phương trình làA. y   8 x  8. B. y  8 x  8. C. y   x  8. D. y  x  8. Hướng dẫn giải : giải pt : y ‘  x0    8  x0  1  y  1   0  pttt : y   8 x  8. Câu 18. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2 x  2 biết tiếp tuyến vuông góc vớix  2 đường thẳng y = – 6 x + 1 là  y  6 x  3A.   y  x  1   B. y   y   6 x  3C.   y   x  1   x  1. D. y  x . Hướng dẫn giải : giải pt :  x0  4  y  4   1 y ‘  x0      x   8  y   8   3   0 x   pttt : y  x   pttt : y  Câu 19. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  4 x 2 tại giao điểm với trục Ox ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải : Ta giải phương trình  x  0  y ‘ ( 0 )  0  pttt : y  0 x  4 x  0   x  2  y ‘ ( 2 )  16  pttt : y  16 x  32   x   2  y ‘ (  2 )   16  pttt : y   16 x  32C âu 20. Cho hàm số y   x 3  3 x  2 có đồ thị ( C ). Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục hoành có phương trình là  y  0A. . B. y   9 x  18.  y   9 x  18C. y   9 x  18.  y  0D.   y   9 x  18H ướng dẫn giải : Ta giải phương trình  pttt : y  0  x  1  y ‘ ( 1 )  0  x 3  3 x  2  0    x   2  y ‘ (  2 )   9  pttt : y   9 x  18C âu 21. Gọi ( d ) là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) của hàm số y  x  5 tại giao điểm A của ( C ) và  x  1 trục hoành. Khi đó, phương trình của đường thẳng ( d ) làA. y   x . B. y   x . C. y  x . Hướng dẫn giải : Ta giải phương trìnhx  5  0  x  5  y ‘ ( 5 )    pttt : y   x .  x  1D. y  x . Câu 22. Tại giao điểm của đồ thị ( C ) của hàm số y  2 x 3  6 x  1 và trục Oy ta lập được tiếptuyến có phương trình làA. y   6 x  1. B. y   6 x  1. C. y  6 x  1. D. y  6 x  1. Hướng dẫn giải : Ta có giao điểm của ( C ) và Oy là : A  0 ; 1   y ‘ ( 0 )   6  pttt : y   6 x  1. Câu 23. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) của hàm số y   1 4 x  3 x 2  2 tại điểm M làgiao của ( C ) và trục tung làA. y   2. B. y  2.  y   2C.   y   2D.  Hướng dẫn giải : Ta có giao điểm của ( C ) và Oy là : M  0 ;  2   y ‘ ( 0 )  0  pttt : y   2. Câu 24. Gọi ( d ) là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) của hàm số y  2 x  1 tại giao điểm A của ( C ) vàx  3 trục tung. Khi đó, phương trình của đường thẳng ( d ) làA. y   x . B. y   x . C. y  x . D. y  x . Hướng dẫn giải : 1  Ta có giao điểm của ( C ) và Oy là : A  0 ;    y ‘ ( 0 )    pttt : y   x . 3  Câu 25. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y  x3  2 x 2  3 x  1 song song vớiđường thẳng y  3 x  năm nay lày  3 x  A. 3.  y  3 x  8 y  3 x  B. 3.  y  3 x  8  y  3 x  8C.   y  3 x  2×0  1  y  1   Hƣớng dẫn giải : Ta giải pt : y ‘  x0   3    x0  3  y  3   1C âu 26. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  y  3 x  D. 3.  y  3 x  83.  pttt : y  3 x  8  pttt : y  3 x  x3  2 x 2  3 x  5 làA. Song song với trục hoành. B. Song song với đường thẳng x  1. C. Có thông số góc dương. D. Có thông số góc bằng  1. Hƣớng dẫn giải : – 11 êx0 = 1 Þ y ( 1 ) = Ta giải pt : y ‘ = 0 Û êêëx0 = 3 Þ y ( 3 ) = – 5 Þ y ‘ ( 3 ) = 0 Þ tt song song OxCâu 27. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  2 xtại điểm có tung độ bằng 3 làx  1A. x  2 y  9  0. B. x  y  8  0. C. 2 x  y  9  0. D. x  2 y  7  0. Hƣớng dẫn giải : Theo giả thiết ta có : y0  3  x0  3 và y ‘ ( 3 )    pttt : x  2 y  9  0. Cho đường cong ( C ) : y  x 3  3 x 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm thuộc ( C ) vàĐăng ký mua file word trọn bộ chuyênđề khối 10,11,12 : có hoành độ x 0   1. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝSoạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu ” Gửi đến số điện thoại thông minh : 0969.912.851 Câu 28. A. y  9 x  5. B. y   9 x  5. C. y  9 x  5. D. y   9 x  5. Hƣớng dẫn giải : Theo giả thiết ta có : x0   1  y0   4 và y ‘ (  1 )  9  pttt : y  9 x  5. Câu 29. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  3 x 3  x 2  7 x  1 tại điểm A ( 0 ; 1 ) làA. y   7 x  1. B. y  x  1. C. y  1. D. y = 0. Hướng dẫn giải : Theo giả thiết ta có : x0  0  y0  1 và y ‘ ( 0 )   7  pttt : y   7 x  1. Câu 30. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  1 ( C ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tạiđiểm có hoành độ bằng 5 làA. y  45 x  174. B. y   45 x  174. C. y  45 x  276. D. y   45 x  276. Hướng dẫn giải : Theo giả thiết ta có : x0  5  y0  51 và y ‘ ( 5 )  45  pttt : y  45 x  174. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƢỚNG DẪN GIẢIII. CÂU HỎI VẬN DỤNG THẤPCâu 31. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  6 x  1 có đồ thị ( C ). Trong những tiếp tuyến của ( C ), tiếptuyến có thông số góc nhỏ nhất có phương trình làA. y  3 x  2. B. y   3 x  2. C. y   3 x  8. D. y  3 x  8. Hƣớng dẫn giảiTa có y,  3 x 2  6 x  6  3 ( x  1 ) 2  3  3  min y,  3 khi x  x0  1  y0  y ( 1 )  5K hi đó phương trình tiếp tuyến y  3 ( x  1 )  5  3 x  2. Câu 32. Cho hàm số y   x 3  6 x 2  3 x  1 có đồ thị ( C ). Trong những tiếp tuyến của ( C ), tiếptuyến có thông số góc lớn nhất có phương trình là : A. y  15 x  55. B. y   15 x  5. C. y  15 x  5. D. y   15 x  55. Hƣớng dẫn giảiTa có : y,   3 x 2  12 x  3   3 ( x  2 ) 2  15  15  max y,  15 khix  x0   2  y0  y (  2 )  25. Khi đó phương trình tiếp tuyến y  15 ( x  2 )  25  15 x  55. Câu 33. Cho hàm số y  x 3  x  1 có đồ thị ( C ). Khẳng định nào sau đây là chứng minh và khẳng định sai ? A. Trên ( C ) sống sót hai điểm A ( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) sao cho hai tiếp tuyến của ( C ) tại A vàB vuông góc. B. Hàm số luôn đồng biến trên ¡. C. Tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 có phương trình là y  4 x  1. D. Đồ thị ( C ) chỉ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. Hƣớng dẫn giải [ Phƣơng pháp tự luận ]  y ( x )  3×1  1  0T a có : y,  3 x 2  1  0  , 1  y. ( x1 ). y, ( x2 )  0  y ( x2 )  3×2  1  0 hay y. ( x1 ). y, ( x2 )   1. Suy ra 2 tiếp tuyến A và B không vuông góc. [ Phƣơng pháp trắc nghiệm ] Ta có y,  3 x 2  1  0,  x  RSuy ra hàm số đồng biến trên ¡ và cắt trục hoành tại một điểm duy nhất  B, D đúng. Vớix0  1  y, ( 1 )  4, y0  3  phươngtrìnhtiếptuyếny  4 ( x  1 )  3  y  4 x  1  C đúng. Câu 34. Đường thẳng y  ax  b tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 3  2 x 2  x  2 tại điểmM ( 1 ; 0 ). Khi đó ta có : A. ab  36. B. ab   6. C. ab   36. D. ab   5. Hƣớng dẫn giảiTa có y,  3 x 2  4 x  1  y, ( 1 )  6. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M ( 1 ; 0 ) là :  a  6 y  6 ( x  1 )  y  6 x  6    ab  36.  b  6C âu 35. Cho hàm số y  x 3  x 2  2 x  5 có đồ thị ( C ). Trong những tiếp tuyến của ( C ), tiếp tuyếncó thông số góc nhỏ nhất, thì thông số góc của tiếp tuyến đó làA. . B.C.D.H ƣớng dẫn giảiTa có y,  3 x 2  2 x  2  3 ( x 2  1 51  5 5 khix  )   3  x      min y,  9 33  3 3 x  x0 . Câu 36. Cho hàm số y  3 xcó đồ thị ( C ). Tiếp tuyến của ( C ) tạo với trục hoành góc 600 cóx  1 phương trình là  y   3 x  4 3A.    y   3 x  y  3 x  4 3B.    y  3 x  y   3 x  4 3C.    y  3 x  y   3 x  4 3D.    y   3 xHƣớng dẫn giảiTa có y,   3  0,  x  1. Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 )  ( C ) tạo với Ox góc 600 ( x  1 ) y  0  y, ( x0 )   tan 60 0   3     y, ( x0 )   3   3   3  ( x0  1 ) 2  1 ( x0  1 )  y   3 x  4 3  x  2  y0  2 3   0     x0  0  y0  0   y   3 xCâu 37. Cho hàm số y  x 3  3 mx 2  3 ( m  1 ) x  1 ( 1 ), m là tham số. Kí hiệu ( Cm ) là đồ thịhàm số ( 1 ) và K là điểm thuộc ( Cm ), có hoành độ bằng  1. Tìm toàn bộ những giá trị của tham số mđể tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm K song song với đường thẳng d : 3 x  y  0. A. m  . B. m   1. D. m  . C. m   1 hoặc m  . Hƣớng dẫn giảiTa có y,  3 x 2  6 mx  3 ( m  1 ). Do K  ( Cm ) và có hoành độ bằng – 1, suy raK   1 ;  6 m  3 . Khi đó tiếp tuyến tại K có phương trình :  : y  y, (  1 ) ( x  1 )  6 m  3   : y  ( 9 m  6 ) x  3 m  3 Đăng ký mua file wordtrọn bộ chuyên đề khối 10,11,12 : Đường thẳng  song song với đường thẳng dHƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝSoạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu ” Gửi đến số điện thoại cảm ứng : 0969.912.851  9 m  6   3  m   1  3 x  y  0  y   3 x      m  . 1 2 mx  m  1 có đồ thị ( C ). Biết tiếp tuyến của ( C ) tại điểm cóhoành độ bằng – 1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x  3 y  1  0. Khi đó giá của mCâu 38. Cho hàm số y  x 4  làA. m   1. B. m  0. C. m   13D. m   11H ƣớng dẫn giảiTa có : y ‘  4 x 3  mx và đường thẳng x  3 y  1  0 viết thành y  x . Theo bài ra ta có : y ‘   1    3   4  m   3  m   1. Câu 39. Cho hàm số y  2 x  1 có đồ thị ( C ). Biết tiếp tuyến d của đồ thị ( C ) vuông góc vớiđường thẳng y   3 x  2017. Hỏi hoành độ tiếp điểm của d và ( C ) là bao nhiêu ? A. 4. C. . B. 1. D. – 4. Hƣớng dẫn giảiTa có : y ‘ . Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của d và ( C ). 2 x  1T heo bài ra ta có : y ‘  x0     2 x0  1  9  x0  42 x0  1 3C âu 40. Cho hàm số y  3 x  4 x 3 có đồ thị ( C ). Từ điểm M  1 ; 3  hoàn toàn có thể kẻ được bao nhiêu tiếptuyến với đồ thị hàm số ( C ) ? A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Hƣớng dẫn giảiĐường thẳng đi qua M  1 ; 3  có thông số góc k có dạng : y  k  x  1   3  d . Điều kiện để  d  là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :  3 x  4 x  k  x  1   3  1 . Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta được : 12  x  0  k  33 x  4 x   3  12 x   x  1   3  8 x  12 x  0   3    x   k   24V ậy có 2 tiếp tuyến. Câu 41. Cho hàm số y  x 3  x  2 có đồ thị ( C ). Tiếp tuyến tại điểm N  1 ; 4  của ( C ) cắt đồ thị ( C ) tại điểm thứ hai là M. Khi đó tọa độ điểm M làA. M   2 ;  8 . B. M   1 ; 0 . C. M  0 ; 2 . D. M  2 ; 12 . Hƣớng dẫn giải [ Phƣơng pháp tự luận ] Ta có y ‘  3 x 2  1  y ‘  1   4, suy ra tiếp tuyến tại N  1 ; 4  là :  : y  4 x. Phương trình hoành độ giao điểm của  và ( C ) là :  x  1 x 3  x  2  4 x  x 3  3 x  2  0    x   2  y   8 [ Phƣơng pháp trắc nghiệm ] 2 xN  xM   ( Với y  ax 3  bx 2  cx  d là hàm số bắt đầu )  2  xM  0  xM   2  M   2 ;  8 . Câu 42. Cho hàm số y  x 3  x 2  x  1 có đồ thị ( C ). Tiếp tuyến tại điểm N của ( C ) cắt đồ thị ( C ) tại điểm thứ hai là M   1 ;  2 . Khi đó tọa độ điểm N làB.  2 ; 5 . A.  1 ; 2 . C.   1 ;  4 . D.  0 ; 1 . Hƣớng dẫn giải [ Phƣơng pháp tự luận ] Đường thẳng  đi qua điểm M   1 ;  2  có thông số góc k có dạng  : y  k  x  1   2.  là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :  x  x  x  1  k  x  1   2  1 . Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta được :  2  2   3 x  2 x  1  k  x   1×3  x 2  x  1   3 x 2  2 x  1   x  1   2   x  1   x  1   0    x  1  y  2  N  1 ; 2 . [ Phƣơng pháp trắc nghiệm ] 2 x N  xM   ( Với y  ax 3  bx 2  cx  d là hàm số bắt đầu )  2 xN  (  1 )  1  xN  1  N  1 ; 2 . Câu 43. Cho hàm số y  x 3  3 mx 2   m  1  x  1 có đồ thị ( C ). Với giá trị nào của m thì tiếptuyến với đồ thị ( C ) tại điểm có hoành độ bằng – 1 đi qua A  1 ; 3  ? B. m . C. m  . D. m  . Hƣớng dẫn giảiTa có : y ‘  3 x 2  6 mx  m  1. Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập. A. m   y ‘   1   4  5 mKhi đó x0   1   suy ra phương trình tiếp tuyến là :  y0  2 m  1  : y   4  5 m   x  1   2 m  1D o A  1 ; 3     3   4  5 m   1  1   2 m  1  m  x  mcó đồ thị ( C ). Với giá trị nào của m thi tiếp tuyến của ( C ) tạix  1 điểm có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng y  3 x  1. Câu 44. Cho hàm số y  A. m  2. B. m  1. C. m   2. Hƣớng dẫn giảiTa có : y ‘  1  m  x  1  khi đó y ‘  0   3  1  m  3  m  2. D. m  3. III. CÂU HỎI VẬN DỤNG CAOcó đồ thị ( C ) và gốc tọa độ O. Gọi  là tiếp tuyến của ( C ), biếtx  1  cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân. Phươngtrình  làA. y  x  4. B. y  x  1. C. y  x  4. D. y  x. Câu 45. Cho hàm số y  Hƣớng dẫn giảiTa có y ‘   x  1   0,  x   1. Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập. Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB, suy ray ‘  0 y ‘  x0    1     y ‘  x0   1   x0  1   x0  0  1    x0   2  Với x0  0  y0  0 ( Loại do M  0 ; 0   O ).  Với x0   2  y0  2, suy ra phương trình tiếp tuyến  : y  x  4. Câu 46. Cho hàm số y   x 4  x 2  6 có đồ thị ( C ). Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) cắt những trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OB = 36OA có phương trình là  y   36 x  58A.   y  36 x  58  x  36 y  4  0C.   x  36 y  4  0  y   36 x  86B.   y  36 x  86  x  36 y  14  0D.   x  36 y  14  0H ƣớng dẫn giảiDoOB  36  y, ( x0 )   36. OA  Với y, ( x0 )   36   4 x3  2 x0   36  4 x03  2 x0  36  0  x0  2  y0  y ( 2 )   14. Suy ra tiếp tuyến y = – 36 x + 58.  Với y, ( x0 )  36   4 x3  2 x0  36  4 x03  2 x0  36  0  x0   2  y0  y (  2 )   14. Suy ra tiếp tuyến y = 36 x + 58. Câu 47. Cho hàm số y  x  1 có đồ thị là  C . Gọi điểm M  x 0 ; y0  với x0   1 là điểm2  x  1  thuộc  C , biết tiếp tuyến của  C  tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phânbiệt A, B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : 4 x  y  0. Hỏi giá trị củax0  2 y0 bằng bao nhiêu ? A. . B.C.D. . Hƣớng dẫn giảix  1   Gọi M  x 0 ; 0    C  là điểm cần tìm. 2  x0  1     Gọi  tiếp tuyến của  C  tại M ta có phương trình.  : y  f ‘ ( x0 ) ( x  x0 )  x0  1 x  1  y  ( x  x0 )  02 ( x0  1 ) 2 ( x0  1 )  x0  1   x 2  2 x0  1   x 2  2 x0  1  ; 0  và B    Oy  B  0 ; 0  Gọi A    Ox  A   02   2 ( x0  1 )   Khi đó  tạo với hai trục tọa độ  OAB có trọng tâm là :  x 2  2 x0  1 x02  2 x0  1  G   02  6 ( 1 )  Do G  đường thẳng : 4 x  y  0   4.  4   x0  1  x02  2 x0  1 x02  2 x0  1  06 ( x0  1 ) 2 ( vì A, B không trùng O nên x02  2 x0  1  0 )  x0  1  2  x0   2      x  1   1  x   3      Với x0   1 3  M (  ;  ). 2 2  Với x0   3 5  M (  ; ). 2 21 3C họn M (  ;  )  x 0  2 y0  . 2 2C âu 48. Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  m ( 1 ), m là tham số thực. Kí hiệu ( C ) là đồ thịhàm số ( 1 ) ; d là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách  3  từ điểm B  ; 1  đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất.  4  A. m  1. B. m   1. C. m  2. D. m   2 .

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay