Tiểu luận toán c1 TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG TRONG kinh tế

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.01 MB, 22 trang )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
TRUNG

T
Â
M

Đ
À
O

T
Ạ
O

B
Ằ
NG

H
AI

TIỂU LUẬN
MÔN: TOÁN CAO CẤP C1
ĐỀ TÀI:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG
KINH TẾ
GVHD: ThS. Nguyễn Tấn Huy
NHÓM THỰC HIỆN

1. Nguyễn Thị Thùy Mai – B20 KDN
2. Nguyễn Ngọc Hương Sen – B20 KKT
3. Trần Thị Thanh Hà – B20 KDN
Đà Nẵng, Tháng 06/2015
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 1

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2

1. NGUYÊN HÀM: 2

1.1. Định nghĩa: 2

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHÂN BẤT ĐỊNH (NGUYÊN HÀM) 3

2.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm khả tích 3

2.2. Phương pháp đổi biến số 3

2.3. Phương pháp tích phân từng phần 4

3. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 5

3.1. Định nghĩa 5

PHẦN II: BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 8

1. BÀI TẬP DẠNG 1. 8

Bài tập 1 8

Bài tập 2 : 8

2. BAI TẬP DẠNG 2 9

Bài tập 3 : 9

Bài tập 4: 10

Bài tập 5: 11

3. BAI TẬP DẠNG 3 12

Bài tập 6: 12

Bài tập 7: 14

4. BAI TẬP DẠNG 4 15

Bài tập 8: 15

5. BAI TẬP DẠNG 5 16

Bài tập 9: 16

Bài tập 10 : 17

Bài tập 11: 18

KẾT LUẬN 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
1

LỜI MỞ ĐẦU

Những vấn đề thường gặp trong các hoạt động kinh tế rất đa dạng và phức tạp.
Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải
quyết các vấn đề như vậy một cách chặt chẽ và hợp lý, mang lại các lợi ích thiết
thực. Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng các mô hình toán học thích
hợp, vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết chúng, phân tích và chú giải
cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn là một yêu cầu
cấp bách đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích kinh tế.
Hiểu được tầm quan trọng của toán học trong kinh tế, nhóm chúng em đã chọn
đề tài “Tích phân và ứng dụng trong kinh tế”. Qua đó, đề tài sẽ tìm hiểu cụ thể
hơn về các định nghĩa, công thức về tích phân cũng như các ứng dụng quan trọng
của tích phân nhằm giải các bài toán trong kinh tế học.
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
2

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Nguyên hàm:
1.1. Định nghĩa:
Trong phần bài học về đạo hàm của hàm số, ta đã biết: Nếu hàm chi phí để sản
xuất x đơn vị sản phẩm là C
ሺ
x
ሻ
, thì hàm chi phí cận biên là MC
ሺ
x
ሻ
=C′
ሺ
x
ሻ
.
Đảo lại, nếu đã biết trước hàm chi phí cận biên là MC
ሺ
x
ሻ
và cần tìm hàm chi phí
thì ta phải làm gì? Ta phải giải bài toán ngược: Tìm hàm số Cሺxሻ sao cho C

ᇱ
ሺ
x
ሻ
=
MCሺxሻ. Đó là bài toán tìm nguyên hàm.
ĐỊNH NGHĨA:
Cho K là một khoảng trong ℝ (tức là K là một trong các dạng:
ሺ
a,b
ሻ
,
ሺ
a,b
ሿ
,[a,bሻ hoặc [a,bሿ). Hàm Fሺxሻ được gọi là nguyên hàm của hàm fሺxሻ
trên K nếu
F
ᇱ
ሺ
x
ሻ
=f
ሺ
x
ሻ
,∀x∈K.
Ở đây, nếu K có chứa đầu mút thì đạo hàm được hiểu là đạo hàm một phía.
Như vậy, trong một khoảng nếu f′ሺxሻ là đạo hàm của fሺxሻ thì ngược lại fሺxሻ được
gọi là nguyên hàm của f′ሺxሻ.

Ví dụ 1:
i) Hàm ݕ=ݔ+ 1 có nguyên hàm là hàm ݕ=
௫
మ
ଶ
+ ݔ trên ܭ=
ሺ
−∞,∞
ሻ
.
ii) Hàm
ݕ=
ଵ
ଶ
√
௫
có nguyên hàm là ݕ=
√
ݔ trên miền ܭ=ሺ0,+∞ሻ.
ĐỊNH LÝ:
Nếu fሺxሻ có nguyên hàm là Fሺxሻ trên K thì fሺxሻ có vô số nguyên hàm và các
nguyên hàm chỉ sai khác nhau một hằng số. Nghĩa là
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
3

∫ ݂
ᇱ

ሺ
ݔ
ሻ
݀ݔ=݂
ሺ
ݔ
ሻ
+ ܥ
2. Các phương pháp tính phân bất định (Nguyên hàm)
Ở đây, chúng ta sẽ tìm hiểu ột số phương pháp chung để tìm tích phân bất định bao
gồm các dạng toán như sau:
2.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm khả tích
Dựa vào tính chất tuyến tính của tích phân bất định và bảng tích phân cơ bản,
ta có thể tìm tích phân bất định của một hàm số bằng cách phân tích thành tổng của
các hàm đã có tích phân được tìm sẵn.
Ví dụ:
2
2 2 2
1 1
1
1 1 1
arctan
x
dx dx dx dx
x x x
x x C
 
= − = −
 
+ + +

 
= − +
∫ ∫ ∫ ∫

2.2. Phương pháp đổi biến số
dx
là một vi phân nên ta có thể viết như sau

( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
‘
f x dx F x C f x t x t dt F x t C
= + ⇔ = +
∫ ∫

a) Phép biến đổi thuận:
Đặt
(
)
x x t
=
để chuyển việc tính
( )
f x dx
∫
thành

( )
(
)
( )
‘
f x t x t dt
∫
.
Ví dụ: Tính

2
5
I x dx
= −
∫

Đặt
5sin
x t
=
, với
,
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
, ta được:

2
arcsin ; 5 cos ; 5 5cos
5
x
t dx tdt x t
= = − =

Nên
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
4

( )
2
5 cos 5 cos
5
5 cos 1 cos2
2
5 sin 2
2 2
I t tdt
tdt t dt
t
t C
=
= = +
 
= + +

 
 
∫
∫ ∫

Thế
arcsin
5
x
t =
vào kết quả trên, ta được
5 1
arcsin sin 2arcsin
2 2
5 5
x x
I C
 
 
= + +
 
 
 
 

b) Phép biến đổi ngược:
Đặt
(
)
‘

x t dt dx
=
để chuyển việc tính
(
)
(
)
(
)
‘
f x t x t dt

thành
( )
f x dx
∫
.
Ví dụ: Tính

(
)
2
2 2
2
4 5 ‘
2 4
4 5 4 5
ln 4 5
x x
x

I dx dx
x x x x
x x C
+ −
+
= =
+ − + −
= + − +
∫ ∫

2.3. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử
(
)
u x
và
(
)
v x
là hai hàm số có đạo hàm
(
)
‘
u x
và
(
)
‘
v x
, là các hàm

liên tục trên khoảng
K
. Khi đó,

(
)
‘ ‘ ‘
uv u v uv
= +

Lấy tích phân cả hai vế, ta được
‘ ‘
uv u vdx uv dx
= +
∫ ∫

Hay

udv uv vdu
= =
∫ ∫

Ví dụ: Tính I =
∫
ݔ݈݊ݔ ݀ݔ

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
5

Đặt u = lnx du =
ଵ
௫
݀ݔ
dv = xdx v =
௫
మ
2

Vậy: I =
௫
మ
2
݈݊ݔ−
∫
௫
మ
ଶ

ଵ
௫
݀ݔ
=
௫
మ
2
݈݊ݔ−
௫

మ
ସ
+ ܥ

=
௫
మ
4
ሺ2݈݊ݔ−1ሻ ൅ ܥ

3. Tích phân xác định
3.1. Định nghĩa
Đặt vấn đề:
Giả sử
( )
f x
liên tục trên
[ ]
,a b
và
( )
[ ]
0, ,f x x a b> ∀ ∈
. Gọi
S
là hình phẳng
được giới hạn bởi: đồ thị hàm số
( )
y f x

=
; hai đường thẳng đứng
,x a x b= =
; trục
hoành.
S
được minh họa bởi hình sau đây:

Tính diện tích hình
S
?
Để tính diện tích hình
S
, ta chia đoạn
[ ]
,a b
thành
n
phần với cách chia:
0 1 2

n
a x x x x b= < < < < =
. Tại mỗi khoảng
( )
1
,
i i
x x
+

, ta xét diện tích
1i
S
+
như minh
họa ở hình vẽ sau:
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
6

Khi giá trị
1i i i
x x x
−
∆ = −
là đủ nhỏ, ta có thể xấp xỉ giá trị diện tích
i
S
là diện tích
hình chữ nhật với độ dài 2 cạnh lần lượt là:
i
x∆
và
( )
1i
f x
−

. Kết quả là diện tích
S

có thể được xấp xỉ như sau
( )
1
1
n
i i
i
S f x x
−
=
≈ ∆
∑

Như vậy, ta có thể khẳng định:
( )
1
1
lim
n
i i
n
i
S f x x
−
→+∞
=

= ∆
∑

Phương pháp xác định giá trị diện tích của một hàm như trên được tổng quát
hóa bằng phương pháp tích phân xác định. Theo đó,
ĐỊNH NGHĨA:
Tích phân xác định của một hàm số
( )
y f x
=
trên miền
[ ]
,a b
được ký hiệu là
( )
b
a
f x dx
∫

Được định nghĩa như sau:
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
7

( ) ( )
1
1

lim
n
b
i i
a
n
i
f x dx f x x
−
→+∞
=
= ∆
∑
∫

Với
0 1 2

n
a x x x x b
= < < < < =
.
ĐỊNH LÝ 1:
Điều kiện khả tích đủ để một hàm số
(
)
y f x
=
khả tích trên miền
[

]
,
a b
bao gồm
các điều kiện sau:
•
(
)
f x
liên tục hoặc có một số điểm gián đoạn hữu hạn trên
[
]
,
a b
;
•
(
)
f x
đơn điệu và bị chặn trên
[
]
,
a b

ĐỊNH LÝ 2
Hàm
(
)
y f x

=
khả tích trên miền
[
]
,
a b
thì nó bị chặn trên đoạn đó.

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
8

PHẦN II: BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
1. Bài tập Dạng 1.
Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) đã biết. Tính lượng thay đổi của
Q(t) khi t thay đổi từ a
→
b
Bài tập 1: Sau t giờ làm việc một người công nhân nào đó có thể sản xuất
với tốc độ là
t
e
5.0
100
−
+ đơn vị/ giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 8 giờ
sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị giữa 9 giờ sáng và 11giờ trưa
Giải :

Gọi Q(t) là số đơn vị người đó sản xuất được sau t giờ tính từ lúc 8 giờ sáng.
Ta có :
(
)
0.5
100’
t
Q
e
t
−
+=

Số đơn vị người đó sản xuất được từ 9 giờ sáng (
1
t
=
) đến 11 giờ trưa (
3
t
=
) là :
( ) ( )
3 3
0.5
1 1
‘( ) 100
3 – 1 200,76
t
Q Q dt dtQ t e

−
=+= =
∫ ∫
(đơn vị)
Bài tập 2 :
Tại một nhà máy nào đó, giả sử chi phí cận biên khi q đơn vị được sản xuất là 4(q −
5)
3
đô la/ đơn vị. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu lượng sản
phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị đến 10 đơn vị ?
Giải :
Ta có :
( ) ( )
3
’ 4 5
C q q= −
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
9

Chi phí tăng lên khi lượng sản phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị đến 10 đơn vị là :
( ) ( )
10 10
3
7 7
‘( )
10 – 7
4

09
( 5)
6
C C dq dqC q q= = =−
∫ ∫
( đô la )
2. Bài tập Dạng 2
Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) và điều kiện ban đầu là Q (a) =Q
0
.
Tính Q (b) ?
Bài tập 3 :
Qua điều tra các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng tốc độ tăng trưởng kinh tế
(GDP) của một quốc gia nào đó sau t năm tính từ đầu năm 2004 sẽ là
30
1
5
2
t
+
+
tỷ
USD/năm. Biết rằng GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2004 là 100 tỷ USD.
a) Hãy dự đoán GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015.
b) Ước tính thay đổi phần trăm GDP của quốc gia đó vào 6 tháng cuối năm năm
2015 Giải :
a) Gọi f(t) là GDP của quốc gia sau t năm tính từ đầu năm 2004. Ta có :
( )
’ 30
1

5
2
f t
t
= +
+
;
(
)
0 100
f =
( tỷ USD )
GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015 là :
(
)
(
)
(
)
(
)
11 11 – 0 0
f f f f= +

f(11) =
∫
11
0
)(‘ tf
dt + 100 =

∫
++
11
0
5
2
1
30 t
dt + 100 = 447,6 ( tỷ USD )
b) Ta có :
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
10

f’(t) = 30+
t+5
2
1

⇒
f(t) =
∫
)(‘ tf
dt =
∫
++ t5
2
1

30
dt = 30t +
3
)5(
2
3
t+
+ C
Sử dụng ĐKBĐ :
f(0) = 100
3
)5(
2
3
+ C = 100
⇒
C= 96,27
Vậy,
f(t) = 30t +
3
)5(
2
3
t+
+ 96,27
phần trăm GDP của quốc gia đó vào 6 tháng cuối năm năm 2015 thay đổi là :
)(
).(‘
tf
ttf

∆
=
)5,11(
5,0).5,11(‘
f
f

≈
0,034 = 3,4%
Bài tập 4:
Hưởng ứng phong trào “Ngày vì người nghèo” do Đài truyền hình Việt Nam tổ
chức, tối ngày 16/06/2015 Chương trình “Chung tay vì người nghèo” đã được tổ
chức tại 3 điểm cầu truyền hình tại 03 thành phố lớn của đất nước là: Hà Nội, Đà
Nẵng, TP. Hồ Chí Minh và được truyền hình trực tiếp trên kênh VTV3 – Đài
truyền hình Việt Nam. Trong chương trình này, các cá nhân, tổ chức trong và ngoài
nước có dịp được chung tay góp sức giúp đỡ người nghèo bằng cách nhắn tin hoặc
quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình. Theo ước tính, sau t (giờ) số
tiền quyên góp sẽ thay đổi với tốc độ 300te
ି଴,ଵ୲
(triệu đồng/giờ). Hãy xác định số
tiền có được sau 05 giờ quyên góp?
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
11

Giải
Gọi ݂(ݐሻ là số tiền quyên góp được sau ݐ (giờ) quyên góp. Ta có:
݂’

(
ݐ
ሻ
= 300ݐ݁
ି଴,ଵ௧
,ݐݎ݋݊݃ đó: ݂(0ሻ = 0
⇒݂(ݐሻ =
׬
݂
ᇱ
(
ݐ
ሻ
݀ݐ =
׬
300ݐ݁
ି଴,ଵ௧
݀ݐ
Đặt:
ቄ
ݑ = 300ݐ⇒݀ݑ = 300 ݀ݐ
݀ݒ = ݁
ି଴,ଵ௧
݀ݐ⇒ ݒ = −10݁
ି଴,ଵ௧

Do đó,
݂ሺݐሻ = −3000ݐ݁
ି଴,ଵ௧
− න−3000ݐ݁

ି଴,ଵ௧
݀ݐ
= −3000ݐ݁
ି଴,ଵ௧
− 30000݁
ି଴,ଵ௧
+ ܥ
Mà
݂
ሺ
0
ሻ
= 0⇒ ܥ = 30000
⇒݂ሺݐሻ = −3000ݐ݁
ି଴,ଵ௧
− 30000݁
ି଴,ଵ௧
+ 30000
Sau 5 giờ (t = 5), số tiền quyên góp được là:
݂ሺ5ሻ = = −3000.5.݁
ି଴,ଵ.ହ
− 30000݁
ି଴,ଵ.ହ
+30000 = 2706,12
Vậy số tiền quyên góp được sau 5 giờ quyên góp là 2706,12 triệu đồng.
Bài tập 5:
Cho hàm lợi nhuận cận biên theo sản lượng:

(
)

5 500
MP Q Q= − +

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
12

Biết rằng nếu chỉ bán được 50 sản phẩm thì sẽ bị lỗ 13.500 đơn vị tiền. Tìm hàm
lợi nhuận
(
)
P Q
?
Giải
Ta có:
ܲ(ܳሻ =නܯܲ(ܳሻ ݀ܳ =
−5ܳ
ଶ
2
൅ 500ܳ൅ܥ
Mà,
ܲ
(
50
ሻ
= −13.50⇒ܥ = −32.250
Vậy,
ܲ(ܳሻ =

−5ܳ
ଶ
2
൅ 500ܳ−32.250

3. Bài tập Dạng 3
Cho chi phí cận biên MC(q) = C’(q) [q : số sản phẩm sản xuất]. Chi phí tăng thêm
khi số sản phẩm SX tăng từ a tới b :
C(b) –C(a) =
׬
ܯܥ
(
ݍ
ሻ
݀ݍ
௕
௔
=
׬
ܥ′
(
ݍ
ሻ
݀ݍ
௕
௔

Áp dụng tương tự với hàm doanh thu R(q) và hàm lợi nhuận P(q)
Bài tập 6:
Giả sử một máy công nghiệp hoạt động sau t giờ tính từ bây giờ thì tốc độ sinh

doanh thu của máy là R’(tሻ = 24000 – 40t
ଶ
triệu đồng/năm và chi phí hoạt động
và chi phí bảo dưỡng của máy tăng với tốc độ là C’(tሻ = 10500 + 20t
ଶ
triệu
đồng/năm.
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
13

a. Hỏi bao nhiêu lâu thì sự sinh lãi của máy bắt đầu giảm.
b. Tính tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng thời gian đã được xác định trong
câu (a).
Giải
a. Ta có:
ܲ
(
ݐ
ሻ
= ܴ
(
ݐ
ሻ
– ܥ
(
ݐ
ሻ

⇒ ܲ’(ݐሻ = ܴ’(ݐሻ – ܥ’(ݐሻ
ܲ’(ݐሻ = 24000 – 40ݐ
ଶ
− 10500 − 20ݐ
ଶ
= 13500 − 60ݐ
ଶ

Cho
ܲ’ሺݐሻ = 0⇔ 13500 − 60ݐ
ଶ
= 0
⇔ ݐ
ଶ
= 225
⇔
൜
ݐ=25
ݐ=−25(݈݋ạ݅ሻ

ݐ

-∞ -25 0 25 +∞
+ –
ܲ
’

ܲ

Vậy sau 25 năm thì sự sinh lãi của máy bắt đầu giảm.
b) Tiền lãi thực sinh trong khoảng thời gian trên là:
Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
14

ܲ
(
25
ሻ
– ܲ
(
0
ሻ
= න ܲ
ᇱ
(
ݐ
ሻ
݀ݐ
ଶହ
଴
= න
(

13500 − 60ݐ
ଶ
ሻ
݀ݐ
ଶହ
଴

= 13500 ݐ – 20ݐ
ଷ

= 135000 (triệu đồng)
Vậy tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng thời gian trên là 135000 (triệu đồng)
Bài tập 7:
Tại một cửa hàng kinh doanh quần áo X sinh ra doanh thu với tốc độ ܴ′
(
ݐ
ሻ
=
7250 − 18ݐ
ଶ
(triệu/năm) sau ݐ năm. Chi phí kinh doanh của cửa hàng tăng với tốc
độ ܥ
ᇱ
ሺ
௧
ሻ
=3620 ൅ 12ݐ
ଶ
(triệu /năm). Sau bao nhiêu năm lợi nhuận của cửa hàng
bắt đầu giảm và lợi nhuận sinh ra trong khoảng thời gian đã được xác định là bao

nhiêu?
Giải
Ta có:
ܲ
(
ݐ
ሻ
= ܴ
(
ݐ
ሻ
– ܥ
(
ݐ
ሻ
⇒ ܲ’(ݐሻ = ܴ’(ݐሻ – ܥ’(ݐሻ
ܲ’
(
ݐ
ሻ
=7250 − 18ݐ
ଶ
− 3620 − 12ݐ
ଶ
= 3630 − 30ݐ
ଶ

ܲ’
(
ݐ

)
= 0 ⇔ 3630 − 30ݐ
ଶ
= 0
⇔ ݐ
ଶ
= 121
⇔
൜
ݐ = 11
ݐ = −11(݈݋ạ݅)

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
15

Vậy sau 11 năm thì sự sinh lãi của cửa hàng bắt đầu giảm.
ܲ
(
11
ሻ
– ܲ
ሺ
0

ሻ
= න ܲ
ᇱ
ሺ
ݐ
ሻ
݀ݐ
ଵଵ
଴
= න
ቆ
−30ݐ
ଷ
3
+ 3620ݐ
ቇ
݀ݐ
ଵଵ
଴

=
൫
3620 ݐ – 10ݐ
ଷ
൯
௧ୀ଴
௧ୀଵଵ

=26510 (triệu đồng)
Vậy tiền lãi thực sinh của cửa hàng trong khoảng thời gian trên là 26510 (triệu

đồng)
4. Bài tập Dạng 4
Hàm f(x) liên tục trên [a,b]. Giá trị trung bình của f(x) trên [a,b] là
1
ሺܾ− ܽሻ
න ݂
ሺ
ݔ
ሻ
݀ݔ
௕
௔

Bài tập 8:
Sau t tháng làm việc tại xưởng may, một nhân viên cắt may có thể cắt ܳ
(
ݐ
ሻ
=
700 − ݁
ି଴.ହ௧
chiếc quần dài trên một giờ. Tính tốc độ sắp xếp trung bình của nhân
viên cắt may trên trong 3 tháng đầu tiên làm việc.
Giải
Tốc độ sắp xếp trung bình của nhân viên cắt may trong 3 tháng đầu tiên làm việc
là:
t -∞ -11 0 11 +∞
+ –

ܲ
’

ܲ

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
16

ଵ
ଷି଴
׬
ܳ(ݐሻ݀ݐ=
ଵ
ଷ
ଷ
଴
׬
(
700 − ݁
ି଴.ହ௧
ሻ
݀ݐ
ଷ
଴
=

ଵ
ଷ
(
700 × (3ሻ ൅ 2݁
ି଴.ହ×ଷ
ሻ
−
ଵ
ଷ
(
700 ×
(
0
ሻ
൅ 2݁
ି଴.ହ×଴
ሻ
=699,41 ( chiếc/tháng)
Vậy trong 3 tháng đầu tiên nhân viên cắt được 699,41 chiếc/tháng.
5. Bài tập Dạng 5
Bài tập 9:
Bài toán tìm hàm tiết kiệm biết khuynh hướng tiết kiệm biên.
Cho biết khuynh hướng tiết kiệm biên MSP (marginal propensity to save)
phụ thuộc vào mức thu nhập: MSP = dS/dY = 0,3 – 0,1Y
5,0−
, với Y là thu nhập và
S = S(Y) là hàm tiết kiệm. Cho điều kiện ban đầu S = 0 khi Y = 81. Tìm hàm tiết
kiệm.
Giải :
Ta có:

0,5 0,5
0,3 – 0,3 0
0,1 )
,( 1
dS Y dY
dS
Y
dY
− −
== − ⇒

⇔

( )
0,5
0,3 – 0,(0,3 0,1 )
2
S Y dY
Y Y Y C
−
−
= = +
∫

Sử dụng đkbđ :
(
)
81 0
S

=

0,3.81 0,2.81 0 22,5
C C
− + = ⇒ = −

Vậy,
(
)
0,3 – 0,2 –22,5
S Y Y Y=

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
17

Bài tập 10 :
Bài toán đầu tư và hình thành vốn.
Xét hàm tích trữ vốn: K = K(t) (đây là khái niệm tích trữ – stock concept) và hàm I
= I(t), cường độ đầu tư thuần (đây là khái niệm dòng –flow concept). Vốn tích trữ
K và cường độ đầu tư I có mối quan hệ cho bởi phương trình vi phân
)(tI
dt
dK
=
. Vế
trái là tốc độ biến thiên của vốn tích trữ, còn

vế phải là cường độ đầu tư. Biết hàm
(
)
3
I t
t
=
. Xác định vốn tích trữ sau 3 tháng ?
Giải :
Gọi
(
)
0
K
là vốn tích trữ được tại
0
t
=
thì :
( )
3/2

3 2
K t dt t C
t
= = +
∫
, trong đó C = K(0).
Do đó,
(

)
3/2
2
( )
0
K t t K
= +

Vốn tích trữ sau 3 tháng
( )
3
3/2 3/2
0
3 2(3) 2(0) 10,39
K t tdt= = − =
∫
( tỷ USD )


 Chú ý :
Nếu cho
(
)
100000 /
I t USD tháng const
= =
thì vốn tích trữ sau 3 tháng là:
3 3
0 0
( ) 1000

300000
00I t dt dK t= ==
∫ ∫

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
18

Bài tập 11:
Cho tốc độ thay đổi đầu tư là ܫ(ݐሻ = 60ݐ
ଵ/ଷ
và tại thời điểm ܭ(1ሻ = 85. Hãy tìm
nguồn vốn ܭሺݐሻ?
Giải:
Ta có:
ܭ(ݐሻ = ׬ ܫ(ݐሻ ݀ݐ = ׬ 60ݐ
ଵ/ଷ
݀= 45ݐ
ସ/ଷ
൅ ܥ
Mà,
ܭ
(
1
ሻ
= 85 ⇒85 = 45.1
ସ/ଷ
+ ܥ ⇒ ܥ = 40

Vậy nguồn vốn ܭ(ݐሻ được tính toán bởi hàm:
ܭ(ݐሻ = 45ݐ
ସ/ଷ
൅ 40

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
19

KẾT LUẬN

Có thể nói rằng, khi ứng dụng Tích phân trong Kinh tế, chúng ta đã có thể
tìm được các lời giải quan trọng cho các bài toán kinh tế đã đề ra. Đó là:
– Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) đã biết. Tính lượng thay đổi của
Q(t) khi t thay đổi từ a
→
b
– Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) và điều kiện ban đầu là Q(a) =
Q0. Tính Q (b).
– Cho chi phí cận biên MC(q) = C’(q) [q : số sản phẩm sản xuất]. Ta tính được
chi phí tăng thêm khi số sản phẩm SX tăng từ a tới b [Áp dụng tương tự với
hàm doanh thu R(q) và hàm lợi nhuận P(q)]
– Hàm f(x) liên tục trên [a,b]. Ta tính được giá trị trung bình của f(x) trên [a,b]
– Bài toán đầu tư và hình thành vốn…
Trong phạm vi của tiểu luận, chúng tôi chỉ có thể giới thiệu một số các ứng dụng
của tích phân trong vô vàn ứng dụng đa dạng của tích phân trong kinh tế… Kính
mong các thầy cô chân thành góp ý để nhóm chúng tôi có thể hoàn thiện hơn trong
những lần thực hiện tiếp theo.

Tích phân và ứng dụng GVHD: Ths. Nguyễn Tấn Huy

Trang
20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Toán cao cấp I & II dành cho khối ngành kinh tế – Nguyễn Văn Bắc
[2] Tiểu luận toán cao cấp C – Trần Thị Phượng
[3] Giáo trình toán cao cấp C1 – ThS Nguyễn Thị Lệ Nhung; ThS Nguyễn Thị
Ngọc Bích
[4] Tài liệu ôn tập môn Toán cao cấp C1 – ThS Nguyễn Tấn Huy
[5] Calculus for Business, Economics, Life Sciences and Social Sciences –
Raymond A. Barnett; Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen

1. Nguyễn Thị Thùy Mai – B20 KDN2. Nguyễn Ngọc Hương Sen – B20 KKT3. Trần Thị Thanh Hà – B20 KDNĐà Nẵng, Tháng 06/2015 Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyMỤC LỤCLỜI MỞ ĐẦU 1PH ẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT 21. NGUYÊN HÀM : 21.1. Định nghĩa : 22. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHÂN BẤT ĐỊNH ( NGUYÊN HÀM ) 32.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của những hàm khả tích 32.2. Phương pháp đổi biến số 32.3. Phương pháp tích phân từng phần 43. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 53.1. Định nghĩa 5PH ẦN II : BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 81. BÀI TẬP DẠNG 1. 8B ài tập 1 8B ài tập 2 : 82. BAI TẬP DẠNG 2 9B ài tập 3 : 9B ài tập 4 : 10B ài tập 5 : 113. BAI TẬP DẠNG 3 12B ài tập 6 : 12B ài tập 7 : 144. BAI TẬP DẠNG 4 15B ài tập 8 : 155. BAI TẬP DẠNG 5 16B ài tập 9 : 16B ài tập 10 : 17B ài tập 11 : 18K ẾT LUẬN 19T ÀI LIỆU THAM KHẢO 20T ích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrangLỜI MỞ ĐẦUNhững yếu tố thường gặp trong những hoạt động giải trí kinh tế rất phong phú và phức tạp. Toán học là một công cụ rất là hiệu suất cao giúp cho việc phát biểu, nghiên cứu và phân tích và giảiquyết những yếu tố như vậy một cách ngặt nghèo và hài hòa và hợp lý, mang lại những quyền lợi thiếtthực. Việc biết cách diễn đạt những yếu tố kinh tế dưới dạng những quy mô toán học thíchhợp, vận dụng những giải pháp toán học để xử lý chúng, nghiên cứu và phân tích và chú giảicũng như kiểm nghiệm những hiệu quả đạt được một cách logic luôn là một yêu cầucấp bách so với những chuyên viên thao tác trong nghành nghiên cứu và phân tích kinh tế. Hiểu được tầm quan trọng của toán học trong kinh tế, nhóm chúng em đã chọnđề tài “ Tích phân và ứng dụng trong kinh tế ”. Qua đó, đề tài sẽ tìm hiểu và khám phá cụ thểhơn về những định nghĩa, công thức về tích phân cũng như những ứng dụng quan trọngcủa tích phân nhằm mục đích giải những bài toán trong kinh tế học. Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrangPHẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT1. Nguyên hàm : 1.1. Định nghĩa : Trong phần bài học kinh nghiệm về đạo hàm của hàm số, ta đã biết : Nếu hàm ngân sách để sảnxuất x đơn vị chức năng mẫu sản phẩm là C, thì hàm ngân sách cận biên là MC = C ′ Đảo lại, nếu đã biết trước hàm ngân sách cận biên là MCvà cần tìm hàm chi phíthì ta phải làm gì ? Ta phải giải bài toán ngược : Tìm hàm số Cሺxሻ sao cho CMCሺxሻ. Đó là bài toán tìm nguyên hàm. ĐỊNH NGHĨA : Cho K là một khoảng chừng trong ℝ ( tức là K là một trong những dạng : a, ba, b, [ a, bሻ hoặc [ a, bሿ ). Hàm Fሺxሻ được gọi là nguyên hàm của hàm fሺxሻtrên K nếu = f, ∀ x ∈ K.Ở đây, nếu K có chứa đầu mút thì đạo hàm được hiểu là đạo hàm một phía. Như vậy, trong một khoảng chừng nếu f ′ ሺxሻ là đạo hàm của fሺxሻ thì ngược lại fሺxሻ đượcgọi là nguyên hàm của f ′ ሺxሻ. Ví dụ 1 : i ) Hàm ݕ = ݔ + 1 có nguyên hàm là hàm ݕ = + ݔ trên ܭ = − ∞, ∞ ii ) Hàmݕ = có nguyên hàm là ݕ = ݔ trên miền ܭ = ሺ0, + ∞ ሻ. ĐỊNH LÝ : Nếu fሺxሻ có nguyên hàm là Fሺxሻ trên K thì fሺxሻ có vô số nguyên hàm và cácnguyên hàm chỉ sai khác nhau một hằng số. Nghĩa làTích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang ∫ ݂ ݀ ݔ = ݂ + ܥ2. Các giải pháp tính phân bất định ( Nguyên hàm ) Ở đây, tất cả chúng ta sẽ tìm hiểu và khám phá ột số giải pháp chung để tìm tích phân bất định baogồm những dạng toán như sau : 2.1. Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của những hàm khả tíchDựa vào đặc thù tuyến tính của tích phân bất định và bảng tích phân cơ bản, ta hoàn toàn có thể tìm tích phân bất định của một hàm số bằng cách nghiên cứu và phân tích thành tổng củacác hàm đã có tích phân được tìm sẵn. Ví dụ : 2 2 21 11 1 1 arctandx dx dx dxx x xx x C   = − = −   + + +   = − + ∫ ∫ ∫ ∫ 2.2. Phương pháp đổi biến sốdxlà một vi phân nên ta hoàn toàn có thể viết như sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx F x C f x t x t dt F x t C = + ⇔ = + ∫ ∫ a ) Phép đổi khác thuận : Đặtx x tđể chuyển việc tính ( ) f x dxthành ( ) ( ) f x t x t dtVí dụ : TínhI x dx = − Đặt5sinx t, với2 2 π π   ∈ −    , ta được : arcsin ; 5 cos ; 5 5 cost dx tdt x t = = − = NênTích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang ( ) 5 cos 5 cos5 cos 1 cos25 sin 22 2I t tdttdt t dtt C = = +   = + +     ∫ ∫ Thếarcsint = vào hiệu quả trên, ta được5 1 arcsin sin 2 arcsin2 25 5 x xI C     = + +         b ) Phép đổi khác ngược : Đặtx t dt dxđể chuyển việc tínhf x t x t dtthành ( ) f x dxVí dụ : Tính2 24 5 ‘ 2 44 5 4 5 ln 4 5 x xI dx dxx x x xx x C + − = = + − + − = + − + ∫ ∫ 2.3. Phương pháp tích phân từng phầnGiả sửu xvàv xlà hai hàm số có đạo hàmu xvàv x, là những hàmliên tục trên khoảng chừng. Khi đó, ‘ ‘ ‘ uv u v uv = + Lấy tích phân cả hai vế, ta được ‘ ‘ uv u vdx uv dx = + ∫ ∫ Hayudv uv vdu = = ∫ ∫ Ví dụ : Tính I = ݔ ݈ ݊ ݔ ݀ ݔTích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrangĐặt u = lnx du = ݀ ݔdv = xdx v = Vậy : I = ݈ ݊ ݔ − ݀ ݔ ݈ ݊ ݔ − + ܥሺ2 ݈ ݊ ݔ − 1 ሻ ൅ ܥ3. Tích phân xác định3. 1. Định nghĩaĐặt yếu tố : Giả sử ( ) f xliên tục trên [ ], a bvà ( ) [ ] 0, , f x x a b > ∀ ∈. Gọilà hình phẳngđược số lượng giới hạn bởi : đồ thị hàm số ( ) y f x ; hai đường thẳng đứng, x a x b = = ; trụchoành. được minh họa bởi hình sau đây : Tính diện tích quy hoạnh hìnhĐể tính diện tích quy hoạnh hình, ta chia đoạn [ ], a bthànhphần với cách chia : 0 1 2 a x x x x b = < < < < =. Tại mỗi khoảng chừng ( ) i ix x, ta xét diện tích1inhư minhhọa ở hình vẽ sau : Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrangKhi giá trị1i i ix x x ∆ = − là đủ nhỏ, ta hoàn toàn có thể giao động giá trị diện tíchlà diện tíchhình chữ nhật với độ dài 2 cạnh lần lượt là : x ∆ và ( ) 1 if x. Kết quả là diện tíchcó thể được giao động như sau ( ) i iS f x x ≈ ∆ Như vậy, ta hoàn toàn có thể chứng minh và khẳng định : ( ) limi iS f x x → + ∞ = ∆ Phương pháp xác lập giá trị diện tích quy hoạnh của một hàm như trên được tổng quáthóa bằng giải pháp tích phân xác lập. Theo đó, ĐỊNH NGHĨA : Tích phân xác lập của một hàm số ( ) y f xtrên miền [ ], a bđược ký hiệu là ( ) f x dxĐược định nghĩa như sau : Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang ( ) ( ) limi if x dx f x x → + ∞ = ∆ Với0 1 2 a x x x x b = < < < < = ĐỊNH LÝ 1 : Điều kiện khả tích đủ để một hàm sốy f xkhả tích trên miềna bbao gồmcác điều kiện kèm theo sau : f xliên tục hoặc có một số ít điểm gián đoạn hữu hạn trêna bf xđơn điệu và bị chặn trêna bĐỊNH LÝ 2H àmy f xkhả tích trên miềna bthì nó bị chặn trên đoạn đó. Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrangPHẦN II : BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG1. Bài tập Dạng 1. Biết đại lượng Q. ( t ) đổi khác với vận tốc Q ’ ( t ) đã biết. Tính lượng đổi khác củaQ ( t ) khi t biến hóa từ aBài tập 1 : Sau t giờ thao tác một người công nhân nào đó hoàn toàn có thể sản xuấtvới vận tốc là5. 0100 + đơn vị chức năng / giờ. Giả sử người đó mở màn thao tác từ lúc 8 giờsáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị chức năng giữa 9 giờ sáng và 11 giờ trưaGiải : Gọi Q. ( t ) là số đơn vị chức năng người đó sản xuất được sau t giờ tính từ lúc 8 giờ sáng. Ta có : 0.5100 ’ + = Số đơn vị chức năng người đó sản xuất được từ 9 giờ sáng ( ) đến 11 giờ trưa ( ) là : ( ) ( ) 3 30.51 1 ' ( ) 1003 – 1 200,76 Q Q dt dtQ t e = + = = ∫ ∫ ( đơn vị chức năng ) Bài tập 2 : Tại một xí nghiệp sản xuất nào đó, giả sử ngân sách cận biên khi q đơn vị chức năng được sản xuất là 4 ( q − 5 ) đô la / đơn vị chức năng. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu lượng sảnphẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị chức năng đến 10 đơn vị chức năng ? Giải : Ta có : ( ) ( ) ’ 4 5C q q = − Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrangChi phí tăng lên khi lượng mẫu sản phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị chức năng đến 10 đơn vị chức năng là : ( ) ( ) 10 107 7 ' ( ) 10 – 709 ( 5 ) C C dq dqC q q = = = − ∫ ∫ ( đô la ) 2. Bài tập Dạng 2B iết đại lượng Q. ( t ) biến hóa với vận tốc Q ’ ( t ) và điều kiện kèm theo khởi đầu là Q. ( a ) = QTính Q ( b ) ? Bài tập 3 : Qua tìm hiểu những nhà nghiên cứu và phân tích kinh tế đã nhận định và đánh giá rằng vận tốc tăng trưởng kinh tế ( GDP ) của một vương quốc nào đó sau t năm tính từ đầu năm 2004 sẽ là30tỷUSD / năm. Biết rằng GDP của vương quốc đó vào đầu năm 2004 là 100 tỷ USD.a ) Hãy Dự kiến GDP của vương quốc đó vào đầu năm năm ngoái. b ) Ước tính đổi khác Xác Suất GDP của vương quốc đó vào 6 tháng cuối năm năm2015 Giải : a ) Gọi f ( t ) là GDP của vương quốc sau t năm tính từ đầu năm 2004. Ta có : ( ) ’ 30 f t = + 0 100 f = ( tỷ USD ) GDP của vương quốc đó vào đầu năm năm ngoái là : 11 11 – 0 0 f f f f = + f ( 11 ) = 11 ) ( ' tfdt + 100 = + + 1130 tdt + 100 = 447,6 ( tỷ USD ) b ) Ta có : Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang10f ’ ( t ) = 30 + t + 5 f ( t ) = ) ( ' tfdt = + + t530dt = 30 t + ) 5 ( t + + CSử dụng ĐKBĐ : f ( 0 ) = 100 ) 5 ( + C = 100C = 96,27 Vậy, f ( t ) = 30 t + ) 5 ( t + + 96,27 Phần Trăm GDP của vương quốc đó vào 6 tháng cuối năm năm năm ngoái biến hóa là :) ( ). ( ' tfttf ) 5,11 ( 5,0 ). 5,11 ( ' 0,034 = 3,4 % Bài tập 4 : Hưởng ứng trào lưu “ Ngày vì người nghèo ” do Đài truyền hình Nước Ta tổchức, tối ngày 16/06/2015 Chương trình “ Chung tay vì người nghèo ” đã được tổchức tại 3 điểm cầu truyền hình tại 03 thành phố lớn của quốc gia là : Thành Phố Hà Nội, ĐàNẵng, TP. Hồ Chí Minh và được truyền hình trực tiếp trên kênh VTV3 – Đàitruyền hình Nước Ta. Trong chương trình này, những cá thể, tổ chức triển khai trong và ngoàinước có dịp được chung tay góp phần giúp sức người nghèo bằng cách gửi tin nhắn hoặcquyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức triển khai chương trình. Theo ước tính, sau t ( giờ ) sốtiền quyên góp sẽ biến hóa với vận tốc 300 te ି ଴, ଵ୲ ( triệu đồng / giờ ). Hãy xác lập sốtiền có được sau 05 giờ quyên góp ? Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang11GiảiGọi ݂ ( ݐሻ là số tiền quyên góp được sau ݐ ( giờ ) quyên góp. Ta có : ݂ ’ = 300 ݐ ݁ ି ଴, ଵ௧, ݐݎ ݋ ݊ ݃ đó : ݂ ( 0 ሻ = 0 ⇒ ݂ ( ݐሻ = ݀ ݐ = 300 ݐ ݁ ି ଴, ଵ௧ ݀ ݐĐặt : ݑ = 300 ݐ ⇒ ݀ ݑ = 300 ݀ ݐ ݀ ݒ = ݁ ି ଴, ଵ௧ ݀ ݐ ⇒ ݒ = − 10 ݁ ି ଴, ଵ௧Do đó, ݂ ሺݐሻ = − 3000 ݐ ݁ ି ଴, ଵ௧ − න − 3000 ݐ ݁ ି ଴, ଵ௧ ݀ ݐ = − 3000 ݐ ݁ ି ଴, ଵ௧ − 30000 ݁ ି ଴, ଵ௧ + ܥMà = 0 ⇒ ܥ = 30000 ⇒ ݂ ሺݐሻ = − 3000 ݐ ݁ ି ଴, ଵ௧ − 30000 ݁ ି ଴, ଵ௧ + 30000S au 5 giờ ( t = 5 ), số tiền quyên góp được là : ݂ ሺ5ሻ = = − 3000.5. ݁ ି ଴, ଵ. ହ − 30000 ݁ ି ଴, ଵ. ହ + 30000 = 2706,12 Vậy số tiền quyên góp được sau 5 giờ quyên góp là 2706,12 triệu đồng. Bài tập 5 : Cho hàm doanh thu cận biên theo sản lượng : 5 500MP Q Q = − + Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang12Biết rằng nếu chỉ bán được 50 mẫu sản phẩm thì sẽ bị lỗ 13.500 đơn vị chức năng tiền. Tìm hàmlợi nhuậnP QGiảiTa có : ܲ ( ܳ ሻ = නܯ ܲ ( ܳ ሻ ݀ ܳ = − 5 ܳ ൅ 500 ܳ ൅ ܥMà, 50 = − 13.50 ⇒ ܥ = − 32.250 Vậy, ܲ ( ܳ ሻ = − 5 ܳ ൅ 500 ܳ − 32.2503. Bài tập Dạng 3C ho ngân sách cận biên MC ( q ) = C ’ ( q ) [ q : số loại sản phẩm sản xuất ]. giá thành tăng thêmkhi số loại sản phẩm SX tăng từ a tới b : C ( b ) – C ( a ) = ܯܥ ݀ ݍܥ ′ ݀ ݍÁp dụng tương tự như với hàm lệch giá R ( q ) và hàm doanh thu P ( q ) Bài tập 6 : Giả sử một máy công nghiệp hoạt động giải trí sau t giờ tính từ giờ đây thì vận tốc sinhdoanh thu của máy là R ’ ( tሻ = 24000 – 40 ttriệu đồng / năm và ngân sách hoạt độngvà ngân sách bảo trì của máy tăng với vận tốc là C ’ ( tሻ = 10500 + 20 ttriệuđồng / năm. Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang13a. Hỏi bao nhiêu lâu thì sự sinh lãi của máy khởi đầu giảm. b. Tính tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng chừng thời hạn đã được xác lập trongcâu ( a ). Giảia. Ta có : = ܴ – ܥ ⇒ ܲ ’ ( ݐሻ = ܴ ’ ( ݐሻ – ܥ ’ ( ݐሻ ܲ ’ ( ݐሻ = 24000 – 40 ݐ − 10500 − 20 ݐ = 13500 − 60 ݐCho ܲ ’ ሺݐሻ = 0 ⇔ 13500 − 60 ݐ = 0 ⇔ ݐ = 225 ݐ = 25 ݐ = − 25 ( ݈ ݋ ạ ݅ ሻ - ∞ - 25 0 25 + ∞ + - Vậy sau 25 năm thì sự sinh lãi của máy mở màn giảm. b ) Tiền lãi thực sinh trong khoảng chừng thời hạn trên là : Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang1425 – ܲ = න ܲ ݀ ݐଶହ = න13500 − 60 ݐ ݀ ݐଶହ = 13500 ݐ – 20 ݐ = 135000 ( triệu đồng ) Vậy tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng chừng thời hạn trên là 135000 ( triệu đồng ) Bài tập 7 : Tại một shop kinh doanh thương mại quần áo X sinh ra lệch giá với vận tốc ܴ ′ 7250 − 18 ݐ ( triệu / năm ) sau ݐ năm. giá thành kinh doanh thương mại của shop tăng với tốcđộ ܥ = 3620 ൅ 12 ݐ ( triệu / năm ). Sau bao nhiêu năm doanh thu của cửa hàngbắt đầu giảm và doanh thu sinh ra trong khoảng chừng thời hạn đã được xác lập là baonhiêu ? GiảiTa có : = ܴ – ܥ ⇒ ܲ ’ ( ݐሻ = ܴ ’ ( ݐሻ – ܥ ’ ( ݐሻ ܲ ’ = 7250 − 18 ݐ − 3620 − 12 ݐ = 3630 − 30 ݐ ܲ ’ = 0 ⇔ 3630 − 30 ݐ = 0 ⇔ ݐ = 121 ݐ = 11 ݐ = − 11 ( ݈ ݋ ạ ݅ ) Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang15Vậy sau 11 năm thì sự sinh lãi của shop mở màn giảm. 11 – ܲ = න ܲ ݀ ݐଵଵ = න − 30 ݐ + 3620 ݐ ݀ ݐଵଵ3620 ݐ – 10 ݐ௧ ୀ ଴ ௧ ୀ ଵଵ = 26510 ( triệu đồng ) Vậy tiền lãi thực sinh của shop trong khoảng chừng thời hạn trên là 26510 ( triệuđồng ) 4. Bài tập Dạng 4H àm f ( x ) liên tục trên [ a, b ]. Giá trị trung bình của f ( x ) trên [ a, b ] làሺ ܾ − ܽ ሻන ݂ ݀ ݔBài tập 8 : Sau t tháng thao tác tại xưởng may, một nhân viên cấp dưới cắt may hoàn toàn có thể cắt ܳ 700 − ݁ ି ଴. ହ௧chiếc quần dài trên một giờ. Tính vận tốc sắp xếp trung bình của nhânviên cắt may trên trong 3 tháng tiên phong thao tác. GiảiTốc độ sắp xếp trung bình của nhân viên cấp dưới cắt may trong 3 tháng tiên phong làm việclà : t - ∞ - 11 0 11 + ∞ + - Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang16ଷ ି ଴ ܳ ( ݐሻ ݀ ݐ = 700 − ݁ ି ଴. ହ௧ ݀ ݐ700 × ( 3 ሻ ൅ 2 ݁ ି ଴. ହ × ଷ700 × ൅ 2 ݁ ି ଴. ହ × ଴ = 699,41 ( chiếc / tháng ) Vậy trong 3 tháng tiên phong nhân viên cấp dưới cắt được 699,41 chiếc / tháng. 5. Bài tập Dạng 5B ài tập 9 : Bài toán tìm hàm tiết kiệm ngân sách và chi phí biết khuynh hướng tiết kiệm ngân sách và chi phí biên. Cho biết khuynh hướng tiết kiệm chi phí biên MSP ( marginal propensity to save ) nhờ vào vào mức thu nhập : MSP = dS / dY = 0,3 – 0,1 Y5, 0 −, với Y là thu nhập vàS = S ( Y ) là hàm tiết kiệm chi phí. Cho điều kiện kèm theo khởi đầu S = 0 khi Y = 81. Tìm hàm tiếtkiệm. Giải : Ta có : 0,5 0,50,3 – 0,3 00,1 ), ( 1 dS Y dYdSdY − − = = − ⇒ ( ) 0,50,3 – 0, ( 0,3 0,1 ) S Y dYY Y Y C = = + Sử dụng đkbđ : 81 00,3. 81 0,2. 81 0 22,5 C C − + = ⇒ = − Vậy, 0,3 – 0,2 – 22,5 S Y Y Y = Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang17Bài tập 10 : Bài toán góp vốn đầu tư và hình thành vốn. Xét hàm tích trữ vốn : K = K ( t ) ( đây là khái niệm tích trữ – stock concept ) và hàm I = I ( t ), cường độ góp vốn đầu tư thuần ( đây là khái niệm dòng – flow concept ). Vốn tích trữK và cường độ góp vốn đầu tư I có mối quan hệ cho bởi phương trình vi phân ) ( tIdtdK. Vếtrái là vận tốc biến thiên của vốn tích trữ, cònvế phải là cường độ góp vốn đầu tư. Biết hàmI t. Xác định vốn tích trữ sau 3 tháng ? Giải : Gọilà vốn tích trữ được tạithì : ( ) 3/23 2K t dt t C = = +, trong đó C = K ( 0 ). Do đó, 3/2 ( ) K t t K = + Vốn tích trữ sau 3 tháng ( ) 3/2 3/23 2 ( 3 ) 2 ( 0 ) 10,39 K t tdt = = − = ( tỷ USD )    Chú ý : Nếu cho100000 / I t USD tháng const = = thì vốn tích trữ sau 3 tháng là : 3 30 0 ( ) 100030000000I t dt dK t = = = ∫ ∫ Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang18Bài tập 11 : Cho vận tốc đổi khác góp vốn đầu tư là ܫ ( ݐሻ = 60 ݐଵ / ଷvà tại thời gian ܭ ( 1 ሻ = 85. Hãy tìmnguồn vốn ܭሺݐሻ ? Giải : Ta có : ܭ ( ݐሻ = ׬ ܫ ( ݐሻ ݀ ݐ = ׬ 60 ݐଵ / ଷ ݀ = 45 ݐସ / ଷ ൅ ܥMà, = 85 ⇒ 85 = 45.1 ସ / ଷ + ܥ ⇒ ܥ = 40V ậy nguồn vốn ܭ ( ݐሻ được đo lường và thống kê bởi hàm : ܭ ( ݐሻ = 45 ݐସ / ଷ ൅ 40T ích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang19KẾT LUẬNCó thể nói rằng, khi ứng dụng Tích phân trong Kinh tế, tất cả chúng ta đã có thểtìm được những giải thuật quan trọng cho những bài toán kinh tế đã đề ra. Đó là : - Biết đại lượng Q. ( t ) đổi khác với vận tốc Q ’ ( t ) đã biết. Tính lượng đổi khác củaQ ( t ) khi t đổi khác từ a - Biết đại lượng Q. ( t ) đổi khác với vận tốc Q ’ ( t ) và điều kiện kèm theo khởi đầu là Q. ( a ) = Q0. Tính Q ( b ). - Cho ngân sách cận biên MC ( q ) = C ’ ( q ) [ q : số loại sản phẩm sản xuất ]. Ta tính đượcchi phí tăng thêm khi số loại sản phẩm SX tăng từ a tới b [ Áp dụng tương tự như vớihàm lệch giá R ( q ) và hàm doanh thu P ( q ) ] - Hàm f ( x ) liên tục trên [ a, b ]. Ta tính được giá trị trung bình của f ( x ) trên [ a, b ] - Bài toán góp vốn đầu tư và hình thành vốn … Trong khoanh vùng phạm vi của tiểu luận, chúng tôi chỉ hoàn toàn có thể ra mắt một số ít những ứng dụngcủa tích phân trong vô vàn ứng dụng phong phú của tích phân trong kinh tế … Kínhmong những thầy cô chân thành góp ý để nhóm chúng tôi hoàn toàn có thể triển khai xong hơn trongnhững lần thực thi tiếp theo. Tích phân và ứng dụng GVHD : Ths. Nguyễn Tấn HuyTrang20TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1 ] Toán hạng sang I và II dành cho khối ngành kinh tế - Nguyễn Văn Bắc [ 2 ] Tiểu luận toán hạng sang C – Trần Thị Phượng [ 3 ] Giáo trình toán hạng sang C1 – ThS Nguyễn Thị Lệ Nhung ; ThS Nguyễn ThịNgọc Bích [ 4 ] Tài liệu ôn tập môn Toán hạng sang C1 – ThS Nguyễn Tấn Huy [ 5 ] Calculus for Business, Economics, Life Sciences and Social Sciences – Raymond A. Barnett ; Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay