Ứng dụng phương trình đường thẳng để giải phương trình căn thức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (726.04 KB, 10 trang )

2

Bài I: Ứng dụng phương trình đường thẳng để giải phương
trình căn thức.

Nhắc lại kiến thức về đƣờng thẳng.
1) Phƣơng trình tổng quát:
Đƣờng thẳng đi qua M(x
0
;y
0
) và có vetơ pháp tuyến
n

(A;B) thì đƣờng thẳng đó có phƣơng trình:
(d): A(x-x
0
)+B(y-y
0
)=0

(d): Ax+By+C=0

VD1. Đƣờng thẳng qua M(1;2) nhận
n

(2;1) làm vectơ pháp tuyến.
(d): 2(x-1)+1(y-2)=0
 (d): 2x+y-4=0
2) Phƣơng trình tham số:

Đƣờng thẳng đi qua M(x
0
;y
0
) và có vectơ chỉ phƣơng
a

(a
1
;a
2
)
(d):





tayy
taxx
20
10

VD2. Đƣờng thẳng qua M(3;4) nhận
a

(2;3) làm vtcp có phƣơng trình:
(d):






ty
tx
34
23

VD3. Cho (d): x+y=4. Viết phƣơng trình tham số của (d).
Giải:
Vectơ pháp tuyến :
n

(1,1)
Vectơ chỉ phƣơng :
a

(1,-1)
Điểm đi qua M(2;2)
 (d) :





ty
tx
2
2

Ứng dụng
VD1. Giải phƣơng trình :
101238
33
 xx

Giải:
Đặt:
8
3
x
=1+3t và
3
12 x
=3-t Đk( -1/3 ≤t≤1/3)
 x
3
+8=(1+3t)
2
(*) và 12-x
3
= (3-t)
2
(**)
Lấy (*)+(**) ta có 20=10t
2
+10  t
2

=1  t=1 hoặc t=-1(loại)
 x
3
=8  x=2
Tip:
Có phải bạn đang tự hỏi: thuật toán nào đã giúp ta nhìn thấy đƣợc cách đặt ẩn t ???
Không phải ngẫu nhiên mà tôi lại trình bày lại vấn đề đƣờng thẳng, một vấn đề tƣởng chừng nhƣ
chẳng liên quan gì đến đại số. Nhƣng giờ đây ta mới nhận ra đƣợc “đƣờng thẳng” chính là “tuyệt chiêu”
để giải phƣơng trình dạng căn thức. Mấu chốt đó là:

3

B1:
101238
33


YX
xx

Từ đó ta có phƣơng trình đƣờng thẳng : X+3Y=10
B2: ta viết lại phƣơng trình: X+3Y=10 theo tham số t





t-3Y
3t +1X

Lúc này phƣơng trình đã quy về 1 ẩn t và việc giải phƣơng trình trên là không khó. (Vì đây là kiến thức
“lớp nhí”)
Để hiểu rõ hơn về phƣơng pháp này các bạn hãy cùng tôi đến với VD2.

VD2. Giải phƣơng trình :

X
x 3
+

Y
x
3
2
=1
Giải:
Gọi (d): X=1+t và Y=0+t
(1) Đặt







tx
tx
3
2
13

(t≤1) 







3
2
2
213
tx
ttx

Lấy phƣơng trình 2 trừ pt1 ta có: -1=t
3
-t
2
+2t-1  t
3
-t
2
+2t=0
 T=0  x=-2
Lƣu ý:
Trong khi giải đề thi, các bạn nên trình bày từ bƣớc(1) trở đi nhằm đảm bảo tính ngắn gọn cho bài toán.
Bƣớc gọi phƣơng trình đƣờng thẳng chỉ nên làm ngoài giấy nháp.
 Trong bài trên ta có thể đặt








vx
ux
3
2
3
và quy về giải hệ phƣơng trình. Các bạn có thể xem
cách này nhƣ một bài tập. các bạn hãy làm và so sánh sự ƣu việt giữa 2 phƣơng pháp.
 Trong bài trên ta hạn chế phƣơng pháp lũy thừa vì nếu muốn khử 2 căn thức khác bậc trên, ta phải
^6 phƣơng trình. Ta sẽ gặp khó khăn và sẽ đối mặt với 1 phƣơng trình “kinh khủng” và ta phải giải
“xịt khói” mới có thể ra nghiệm.

VD3. Giải hệ phƣơng trình :
 
 







2411
13
yx

xyyx
(đề thi ĐH năm 2005)
Giải:
Đặt:







ty
tx
21
21
(-2≤t≤2) 







441
441
2
2
tty
ttx









34
34
2
2
tty
ttx

Phƣơng trình(1) trở thành: 2t
2
+6-
)43)(43(
22
tttt 
=3

910
24
 tt
=2t
2
+3 


 hoặc
`

 t=0  x=y=3

4

VD4. Định m để phƣơng trình sau có nghiệm:

Giải:
Để phƣơng trình có nghiệm:
mxf )(

Min f(x)≤m ≤Max f(x)

Đặt







txm
tmx
33
312
(-1/3≤t≤3)









2
2
693
9612
ttxm
ttmx
 cộng vế với vế => 5m=10+10t
2
 2t
2
+2=m  f(t)=m
Với f(t)= 2t
2
+2 miền xác định: D=[-1/3;3]
F’(t)=4t =>f’(t)=0  t=0

t -∞ -1/3 0 3 +∞
F’(t) – 0 +
20/9 20

2

F(t)

M có nghiệm  2≤m≤20

Bài tập tự luyện

1) Giải hệ phƣơng trình:

2) Giải hệ phƣơng trình:

3) Giải hệ phƣơng trình:
2 1 1 1
3 2 4
x y x
xy

    





(đề thi dự bị1A – 2005)

4) Giải phƣơng trình:
1 sin( ) 1 cos( ) 1xx   
(đề thi dự bị2A – 2004)

5

Bài II: Các cách giải phương trình và bất phương trình vô
tỉ.

Lũy Thừa
Phƣơng pháp lũy thừa là phƣơng pháp tổng quát nhất để giải phƣơng trình có căn. Khi gặp các phƣơng
trình có dạng căn phức tạp nhƣng khi chúng ta biết “mẹo lũy thừa” thì có thể giải bài toán một cách dễ
dàng. Đây là một phƣơng pháp cơ bản, các bạn phải thực tập nhuần nhuyễn vì phƣơng trình trong đề thi
đại học có lúc rất dễ nhƣng ta lại không để ý. các bạn hãy theo dõi các ví dụ sau. Nhƣng trƣớc hết hãy
lƣu ý vấn đề sau:

 Đặt điều kiện
 Lũy thừa chẵn thì hai vế không âm
 Các dạng cơ bản:


BA 






2
0
BA
B


BA 






2
0
0
BA
B


BA 



















2
0
0
0
BA
B
A
B

VD1.
Giải:













10)5(25

010
05
0
xxxx
x
x
x








xxx
x
552
50
2






22
1025)5(4
50
xxxx

x







056
50
2
xx
x
 x=1

x=5

VD2.
132  xxx

Giải:
 2
x
=
3x
+
1x









)1)(3(2134
1
xxxxx
x








132
1
2
xxx
x

6








1232
1
22
xxxx
x






1
1
x
x
 x=1

VD3.

Giải:
Đk: 2x+1>0  x>1/2
Bpt  (4x
2
-4x+1)(x
2
-x+2)≥36
Đặt t = (x
2

-x) bpt trở thành:
(4t+1)(t+2)≥36
4t
2
+9t-34≥0
t≤-17/4 hoặc t≥2
 x
2
-x≤-17/4 hoặc x
2
-x≥2
 x≤1 hoặc x≥2

VD4. Giải bất phƣơng trình :
Giải:














02

0
0
2
2
2
xx
xx
xx

10  xx

Lƣu ý:
Ở bất phƣơng trình trên các bạn không nên lũy thừa để tính toán vì quá trình lũy thừa và nhân phân phối
rất mất thời gian. Hơn nữa, khi quy về một phƣơng trình hệ quả, chúng ta giải rất dễ sai vì khi giao các
tập nghiệm sẽ không có giá trị nào thỏa mãn.
Trong bài trên tôi sử dụng cách đánh giá theo kiểu nhƣ sau:
A
B
≥0 












0
0
0
A
B
B
Đó chính là mấu chốt của bài toán

VD5. Giải phƣơng trình :
Giải:



Đƣờng thẳng đi qua M ( x ; y ) và có vectơ chỉ phƣơng ( a ; a ( d ) :     tayytaxx2010VD2. Đƣờng thẳng qua M ( 3 ; 4 ) nhận ( 2 ; 3 ) làm vtcp có phƣơng trình : ( d ) :     tytx3423VD3. Cho ( d ) : x + y = 4. Viết phƣơng trình tham số của ( d ). Giải : Vectơ pháp tuyến : ( 1,1 ) Vectơ chỉ phƣơng : ( 1, – 1 ) Điểm đi qua M ( 2 ; 2 )  ( d ) :     tytxỨng dụngVD1. Giải phƣơng trình : 10123833     xxGiải : Đặt :  x = 1 + 3 t và12 x  = 3 – t Đk ( – 1/3 ≤ t ≤ 1/3 )  x + 8 = ( 1 + 3 t ) ( * ) và 12 – x = ( 3 – t ) ( * * ) Lấy ( * ) + ( * * ) ta có 20 = 10 t + 10  t = 1  t = 1 hoặc t = – 1 ( loại )  x = 8  x = 2T ip : Có phải bạn đang tự hỏi : thuật toán nào đã giúp ta nhìn thấy đƣợc cách đặt ẩn t ? ? ? Không phải ngẫu nhiên mà tôi lại trình diễn lại yếu tố đƣờng thẳng, một yếu tố tƣởng chừng nhƣchẳng tương quan gì đến đại số. Nhƣng giờ đây ta mới nhận ra đƣợc “ đƣờng thẳng ” chính là “ tuyệt chiêu ” để giải phƣơng trình dạng căn thức. Mấu chốt đó là : B1 : 10123833               YXxxTừ đó ta có phƣơng trình đƣờng thẳng : X + 3Y = 10B2 : ta viết lại phƣơng trình : X + 3Y = 10 theo tham số tt-3Y3t + 1XL úc này phƣơng trình đã quy về 1 ẩn t và việc giải phƣơng trình trên là không khó. ( Vì đây là kỹ năng và kiến thức “ lớp nhí ” ) Để hiểu rõ hơn về phƣơng pháp này những bạn hãy cùng tôi đến với VD2. VD2. Giải phƣơng trình :    x 3     2  = 1G iải : Gọi ( d ) : X = 1 + t và Y = 0 + t ( 1 ) Đặt      txtx13 ( t ≤ 1 )        213 txttxLấy phƣơng trình 2 trừ pt1 ta có : – 1 = t-t+2t-1  t-t+2t = 0  T = 0  x = – 2L ƣu ý : Trong khi giải đề thi, những bạn nên trình diễn từ bƣớc ( 1 ) trở đi nhằm mục đích bảo vệ tính ngắn gọn cho bài toán. Bƣớc gọi phƣơng trình đƣờng thẳng chỉ nên làm ngoài giấy nháp.  Trong bài trên ta hoàn toàn có thể đặt     vxuxvà quy về giải hệ phƣơng trình. Các bạn hoàn toàn có thể xemcách này nhƣ một bài tập. những bạn hãy làm và so sánh sự ƣu việt giữa 2 phƣơng pháp.  Trong bài trên ta hạn chế phƣơng pháp lũy thừa vì nếu muốn khử 2 căn thức khác bậc trên, ta phải ^ 6 phƣơng trình. Ta sẽ gặp khó khăn vất vả và sẽ đương đầu với 1 phƣơng trình “ kinh điển ” và ta phải giải “ xịt khói ” mới hoàn toàn có thể ra nghiệm. VD3. Giải hệ phƣơng trình :            241113 yxxyyx ( đề thi ĐH năm 2005 ) Giải : Đặt :       tytx2121 ( – 2 ≤ t ≤ 2 )          441441 ttyttx       3434 ttyttxPhƣơng trình ( 1 ) trở thành : 2 t + 6 – ) 43 ) ( 43 ( 22 tttt     = 391024   tt = 2 t + 3   hoặc  t = 0  x = y = 3VD4. Định m để phƣơng trình sau có nghiệm : Giải : Để phƣơng trình có nghiệm : mxf  ) ( Min f ( x ) ≤ m ≤ Max f ( x ) Đặt       txmtmx33312 ( – 1/3 ≤ t ≤ 3 )         6939612 ttxmttmx  cộng vế với vế => 5 m = 10 + 10 t  2 t + 2 = m  f ( t ) = mVới f ( t ) = 2 t + 2 miền xác lập : D = [ – 1/3 ; 3 ] F ’ ( t ) = 4 t => f ’ ( t ) = 0  t = 0 t – ∞ – 1/3 0 3 + ∞ F ’ ( t ) – 0 + 20/9 20F ( t ) M có nghiệm  2 ≤ m ≤ 20B ài tập tự luyện1 ) Giải hệ phƣơng trình : 2 ) Giải hệ phƣơng trình : 3 ) Giải hệ phƣơng trình : 2 1 1 13 2 4 x y xxy        ( đề thi dự bị1A – 2005 ) 4 ) Giải phƣơng trình : 1 sin ( ) 1 cos ( ) 1 xx     ( đề thi dự bị2A – 2004 ) Bài II : Các cách giải phương trình và bất phương trình vôtỉ. Lũy ThừaPhƣơng pháp lũy thừa là phƣơng pháp tổng quát nhất để giải phƣơng trình có căn. Khi gặp những phƣơngtrình có dạng căn phức tạp nhƣng khi tất cả chúng ta biết “ mẹo lũy thừa ” thì hoàn toàn có thể giải bài toán một cách dễdàng. Đây là một phƣơng pháp cơ bản, những bạn phải thực tập thuần thục vì phƣơng trình trong đề thiđại học có lúc rất dễ nhƣng ta lại không chú ý. những bạn hãy theo dõi những ví dụ sau. Nhƣng trƣớc hết hãylƣu ý yếu tố sau :  Đặt điều kiện kèm theo  Lũy thừa chẵn thì hai vế không âm  Các dạng cơ bản : BA  BABA    BABA  BAVD1. Giải :          10 ) 5 ( 2501005 xxxx      xxx55250       221025 ) 5 ( 450 xxxx      05650 xx  x = 1 x = 5VD2. 132     xxxGiải :  23  x1  x        ) 1 ) ( 3 ( 2134 xxxxx     132 xxx      123222 xxxx  x = 1VD3. Giải : Đk : 2 x + 1 > 0  x > 50% Bpt  ( 4 x – 4 x + 1 ) ( x-x+2 ) ≥ 36 Đặt t = ( x-x ) bpt trở thành : ( 4 t + 1 ) ( t + 2 ) ≥ 36  4 t + 9 t – 34 ≥ 0  t ≤ – 17/4 hoặc t ≥ 2  x-x ≤ – 17/4 hoặc x-x ≥ 2  x ≤ 1 hoặc x ≥ 2VD4. Giải bất phƣơng trình : Giải :         02 xxxxxx10     xxLƣu ý : Ở bất phƣơng trình trên những bạn không nên lũy thừa để giám sát vì quy trình lũy thừa và nhân phân phốirất mất thời hạn. Hơn nữa, khi quy về một phƣơng trình hệ quả, tất cả chúng ta giải rất dễ sai vì khi giao cáctập nghiệm sẽ không có giá trị nào thỏa mãn nhu cầu. Trong bài trên tôi sử dụng cách nhìn nhận theo kiểu nhƣ sau : ≥ 0  Đó chính là mấu chốt của bài toánVD5. Giải phƣơng trình : Giải :

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay